קבוצה קומפקטית – הבדלי גרסאות

== תכונות של קבוצות קומפקטיות ==

 

::'''הוכחה''': תהי <math>\ K</math> קבוצה קומפקטית ותהי <math>\,a</math> נקודה מחוץ ל-<math>\ K</math>. מספיק להראות שקיימת קבוצה פתוחה המכילה את <math>\,a</math> וזרה ל-<math>\ K</math>. [[אקסיומות ההפרדה|תכונת ההפרדה]] <math>\,T_2</math> מבטיחה שלכל נקודה <math>x\in K</math> קיימות קבוצות פתוחות זרות <math>\ U_x</math> ו- <math>\ V_x</math>, כך ש- <math>\ x\in U_x</math> ו- <math>\ a\in V_x</math>. האוסף <math>\ \{U_x\}_{x\in K}</math> מהווה כמובן כיסוי פתוח של <math>\,K</math>, ולפי הקומפקטיות יש לו תת-כיסוי סופי <math>\ U_{x_1},\dots,U_{x_n}</math>. החיתוך <math>\ V_{x_1}\cap V_{x_2}\cap \dots \cap V_{x_n}</math> הוא קבוצה פתוחה המכילה את <math>\,a</math> וזרה ל-<math>\,K</math>.

 

::'''הוכחה''': נבחר נקודה <math>\ x_0</math> כלשהי, אז הכדורים הפתוחים <math>\ B(x_0,n)</math> מהווים כיסוי פתוח של הקבוצה, שיש לו תת-כיסוי סופי.

 

* מרחב מטרי קומפקטי הוא [[מרחב ספרבילי|ספרבילי]].

* מרחב שהוא קומפקטי והאוסדורף הוא גם [[מרחב נורמלי]].

 

* במרחב האוסדורף, חיתוך של שתי קבוצות קומפקטיות הוא קומפקטי. (במרחב <math>\ \mathbb{Z}\cup \{\pm \infty\}</math> שבו הקבוצות הפתוחות הן הקטעים <math>\ [-n,n]</math> ואלו המכילות את <math>\ \mathbb{Z}</math>, שתי הקבוצות <math>\ \mathbb{Z}\cup\{\infty\}</math> ו- <math>\ \mathbb{Z}\cup\{-\infty\}</math> קומפקטיות, אבל החיתוך שלהן אינו קומפקטי).

 

== קומפקטיות ופונקציות רציפות ==