שוויון פרסבל – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה |
עריכה וויקיזציה |
||
שורה 1:
'''שוויון פרסבל''' הינו [[זהות מתמטית]] אשר מקשרת בין מקדמי [[טור פורייה]] לבין הפונקציה היוצרת אותם.
== הגדרה מתמטית ==
:הזהות מציגה את הקשר בין הפונקציה למקדמי [[טור פורייה]] שלה, כלומר סכום הערך המוחלט של ריבוע מקדמי טור פורייה של הפונקציה (בצד שמאל) שווה לאינטגרל (המנורמל) על הפונקציה היוצרת בערך מוחלט בריבוע (בצד ימין).▼
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx</math>▼
כל [[פונקציה מחזורית]] בקטע <math>[ -\pi , \pi ]</math> ניתן להציג כ[[טור פונקציות]] אינסופי של "הפונקציות ההרמוניות" היסודיות באופן הבא:
כאשר ''c''<sub>''n''</sub> הינו מקדם טור פורייה (המרוכב) של הפונקציה ''ƒ'' והוא: {{ש}}▼
: <math>f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{i n x} = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} c_n e^{i n x} </math>
▲
:<math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx.</math>{{ש}} זהות זו היא מקרה פרטי של [[טור פורייה|שוויון פלנשרל]], ניתן להוכיחה באמצעות [[אורתוגונליות]].{{ש}}▼
▲:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx</math>
▲כאשר ''c''<sub>''n''</sub> הינו מקדם טור פורייה (המרוכב) של הפונקציה ''ƒ''
: <math>c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \mathrm{e}^{-inx} \, dx.</math>
▲
== הגדרה הנדסית==
:האנרגיה של האות במרחב הזמן נשמרת וזהה גם בהצגה של האות העובר התמרת פורייה למרחב התדר f.▼
<center><math>E=\int_{-\infty}^{+\infty} |X(t)|^2~\mathrm dt =\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(f)|^2~\mathrm df.</math></center>▼
▲<center><math>E=\int_{-\infty}^{+\infty} |X(t)|^2~\mathrm dt =\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(f)|^2~\mathrm df.</math></center>
:בהצגה של האות במרחב התדר כתלות בתדירות הזוויתית ω להוסיף נרמול בפקטור של 2π.▼
▲
: <center><math>E=\int_{-\infty}^{+\infty} |X(t)|^2~\mathrm dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(\omega)|^2~\mathrm d\omega.</math></center>
== צורות כתיבה נוספות ==
| |||