הבדלים בין גרסאות בדף "משפטי האי-שלמות של גדל"

תיקון טעות
מ
(תיקון טעות)
גדל הראה שכל מערכת [[אקסיומה|אקסיומות]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] ועשירה מספיק (כזו המכילה חלק מספיק גדול מאקסיומות ה[[אריתמטיקה]]) שהיא [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]], היא בהכרח לא [[שלמות|שלמה]], משמע שקיימות [[עצמאות_(לוגיקה_מתמטית)|טענות שלא ניתנות להכרעה]], כלומר שלא ניתן להוכיחן או להפריכן. בכך גדל שם קץ לניסיונות רבים [[תוכנית הילברט|לבנות מערכת אקסיומטית כוללת]] שממנה תנבע כל המתמטיקה.
 
המשפטים מצוטטים בתרבות הפופולרית בצורות שונות, לעתים שגויות, ובפרט שנויה במחלוקת השאלה האם המשפטים טוענים ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח". המשפטים מוכיחים שעבור כל מערכת כמתואר לעיל קיימת טענה על מספרים טבעיים שהיא אמיתית אך אינה ניתנת להוכחה במערכת. עם זאת, קיים גם משפט לכאורה הפוך, [[משפט השלמות של גדל]], שקדם למשפטי האי־שלמות, שטוען שבכל מערכת כזו אפשר להוכיח כל טענה הנכונה בכל [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] המתאים למערכת (כלומר בכל פרשנות אפשרית של המערכת). משילוב שני המשפטים נובע שכל מערכת עקבית לתיאור המספרים טבעיים אפשר לפרש בצורות שונות, שחלקן שונות מהדרך הרגילה בה אנו תופסים את המספרים הטבעיים. כלומר אפשר להתאים להן מודל שאינו מודל המספרים הטבעיים הסטנדרטי{{הערה|1=[http://www.gadial.net/2009/05/03/godel_incompleteness_yes/ משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים?] לא מדויק, גדי אלכסנדרוביץ'}}.
המשפטים אינם אומרים, למרות הניסוח הפופוליסטי שלהם, ש־"קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיח", דבר ש[[משפט השלמות של גדל]], שקדם למשפטי האי־שלמות, סותר לחלוטין. למעשה, עבור טענה שלא ניתנת להכרעה, ניתן לבנות למערכת [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] בו היא תהיה נכונה, ומודל אחר בו היא תהיה שגויה.
 
==מבוא לא פורמלי==
* אלון עמית, [http://www.haayal.co.il/story_2396 תנו לגדול בשקט], [[האייל הקורא]]
{{ynet|גדי אלכסנדרוביץ'|משפטי אי השלמות של גדל: הטוב, הרע והיפה|4139368|26.10.2011}}
* {{לא מדויק|192|משפטי אי השלמות של גדל - מה הם כן אומרים?}}
* {{לא מדויק|193|משפט אי השלמות הראשון של גדל - איך (בערך) מוכיחים אותו?}}
 
== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}
 
[[קטגוריה:היסטוריה של המתמטיקה]]
813

עריכות