פונקציה דיפרנציאבילית – הבדלי גרסאות

ב[[אנליזה מתמטית]], '''פונקציה דיפרנציאבילית''' היא [[פונקציה ממשית]] בכמהב[[חשבון אינפיניטסימלי|כמה משתנים]], שיש לה [[קירוב לינארי]] ([[דיפרנציאל (מתמטיקה)|דיפרנציאל]]).

פונקציה דיפרנציאבילית במשתנה אחד אינה אלא [[פונקציה גזירה]]. עם זאת, בפונקציות של כמה משתנים, אלו הן תכונות שונות: לפונקציה יכולה להיות נגזרת (שאינה אלא [[וקטור עמודה|וקטור]] [[נגזרת חלקית|הנגזרות החלקיות]]) גם אם היא אינה דיפרנציאבילית.

תהא <math>\ f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}</math> פונקציה ב-<math>\!\, n</math> משתנים. נגיד שהפונקציה דיפרנציאבילית בנקודה <math>x^0=\left(x^0_1,\dots,x^0_n\right)</math> אם אפשר לכתוב <math>\ f(x^0_1+\Delta x_1,\dots,x^0_n+\Delta x_n)= f(x^0_1,\dots,x^0_n)+\sum_{i=1}^{n}(A_i + \alpha_i(x))\cdot\Delta x_i</math>, כאשר <math>\!\, A_1,\dots,A_n</math> קבועים, ו-<math>\!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n</math> פונקציות השואפות לאפס כאשר <math>\!\, \Delta x</math> שואף לאפס.

פירוש ההגדרה הוא כדלהלן: בסביבות הנקודה <math>\!\, x^0</math> אפשר לייצג את הפונקציה בקירוב טוב בתור פונקציה לינארית ב-<math>\!\, n</math> משתנים, כשהמקדמים הם <math>\!\, A_1,\dots,A_n</math>. זהו "קירוב טוב" כי השאריות (הפונקציות <math>\!\, \alpha_1,\dots,\alpha_n</math>) קטנות מאוד יחסית לחלק הלינארי של הפונקציה.