משוואת הגלים – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ תיקון קישור |
מ הגהה |
||
שורה 13:
== משוואת הגלים החד-ממדית ==
עבור גל חד ממדי המשוואה היא:
: <math>\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi(x,t) = \frac{1}{v^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} \psi(x,t)</math>
כאשר <math>\ x</math> הוא המקום במרחב החד ממדי.
פתרון כללי של המשוואה נתגלה על ידי [[ז'אן לה רון ד'אלמבר]] והוא:
שורה 29 ⟵ 27:
== פתרון בשיטת פורייה ==
הפתרון הבסיסי של משוואת הגלים התלת ממדית שנקרא "גל מישורי" הוא
: <math>
שורה 39 ⟵ 36:
* הווקטור <math>\vec{k}</math> הוא [[וקטור גל|וקטור הגל]], כיוונו הוא כיוון ההתקדמות של הגל וגודלו עומד ביחס הפוך לאורך הגל, <math>|\vec{k}| = k =\frac{ 2 \pi}{\lambda}</math> .
* הקשר בין התדירות הזוויתית לאורך הגל במקרה זה הוא <math> \omega = v k \!\,</math>, במקרה הכללי (כמו בתווך דיאלקטרי, בו מהירות התקדמות הגל v יכולה להיות תלויה באורך הגל) הקשר הוא לא-לינארי והפונקציה <math>\ \omega (k)</math> נקראת [[יחס נפיצה]].
* הפתרון הכללי ביותר של משוואת הגלים הוא [[סופרפוזיציה]] של גלים מישוריים עם יחס הנפיצה <math> \omega = v k \!\,</math>, כאשר פונקציית המשרעת <math>\ A(\vec{k}) </math> נקבעת על פי [[תנאי שפה|תנאי ההתחלה]] של הבעיה. אם אין תנאי שפה שמגבילים את הערכים
*: <math>\ \psi(t,\vec{r}) = \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{ \vec{k} \in \mathbb{R}^3}{ \psi_{\vec{k}}(t,\vec{r}) \ d^3 k}</math>
שורה 51 ⟵ 48:
=== נוסחת ד'אלמבר למשוואה הומוגנית===
<math>u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds</math>
=== נוסחת ד'אלמבר למשוואה אי הומוגנית ===
<math>u(x,t)=\frac{f(x-ct)+f(x+ct)}{2} + \frac{1}{2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(s) ds + \frac{1}{2c} \int_0^t \int_{x-c(t-\tau)}^{x+c(t-\tau)} G(s,\tau) ds d\tau</math>
| |||