פונקציית התפלגות – הבדלי גרסאות

# ה[[גבול של פונקציה|גבול]] <math>\ \lim_{a \rightarrow \infty} F_X(a)</math> שווה ל-1.

# הפונקציה [[פונקציה מונוטונית|מונוטונית עולה]] (במובן החלש), כלומר <math>\ F_X(a) \leq F_X(b)</math> לכל <math>\ a \leq b</math>.

 

ולהיפך: אם F היא [[פונקציה ממשית|פונקציה]] המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת ל[[אלגברת בורל]] על הממשיים. עם זאת, מכיוון שה[[קטע (אנליזה)|קטעים]] יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות <math>\ a < X < b</math>. ואכן, אם דורשים ש- <math>\ \operatorname{Pr}(X \leq a) = F(a)</math>, נובע שהגבול משמאל <math>\ \lim_{x \rightarrow b^{-}} F(b)</math> שווה להסתברות <math>\ \operatorname{Pr}(X<b)</math>. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה <math>\ a < X < b</math>,