הבעיות הגאומטריות של ימי קדם – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט החלפות: \1הפך |
|||
שורה 26:
בעיית '''תַּרְבּוּעַ העיגול''' (או '''ריבוע העיגול''') דורשת לבנות [[ריבוע]] השווה ב[[שטח (מתמטיקה)|שטחו]] ל[[עיגול]] נתון. לבעיה זו הוצעו כל כך הרבה פתרונות שגויים, עד שבשנת [[1775]] החליטה [[האקדמיה הצרפתית למדעים]] שלא לבדוק יותר פתרונות לבעיה זו.
שטחו של מעגל שווה ל-πR<sup>2</sup>, כלומר [[רדיוס|רדיוסו]] בחזקה שנייה כפול [[פאי]], ושטחו של ריבוע הוא <math>\ x^2 </math>, כלומר צלעו בחזקה שנייה. מכך מתקבל שעלינו לבנות קטע שאורכו הוא הרדיוס כפול שורש פאי. מתכונותיו של [[שדה המספרים הניתנים לבנייה]] נגזר שאם ניתן לבנות קטע באורך <math>\pi</math> ניתן גם לבנות קטע באורך <math>\ \sqrt{\pi}</math>,
בשנת [[1882]] הוכיח [[פרדיננד לינדמן]] את [[משפט לינדמן]] שקובע שעבור כל α [[מספר אלגברי|אלגברי]] שאינו 0, <math>\,e^{\alpha}</math> הוא [[מספר טרנסצנדנטי]]. מכאן ניתן [[הוכחה בדרך השלילה|להוכיח בשלילה]] שפאי טרנסצנדנטי. נניח שפאי הוא מספר אלגברי. מכיוון ש-i (השורש הריבועי של 1-) אלגברי, גם המכפלה של i ופאי אלגברית. [[זהות אוילר]] קובעת כי :<math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math>
| |||