אקספוננט – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-<div style="text-align: *center;">[ \n]*<math>(.+?)</math>[ \n]*</div> +<math display="block">\1</math>) |
|||
שורה 11:
פונקציית האקספוננט היא [[פונקציה אנליטית|הפונקציה האנליטית]] היחידה שכל הנגזרות שלה ב-0 מקבלות את הערך 1, ולכן אפשר להגדיר אותה גם כ[[טור חזקות]]:
<math display="block">\exp(x) = e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>▼
▲<math>\exp(x) = e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math>
מן ההגדרה הזו, על ידי האריתמטיקה של מכפלת טורים, נובעת התכונה היסודית של האקספוננט:
<math display="block">\ \exp(x)\cdot \exp(y) = \exp(x+y)</
▲</div>תכונה זו נובעת מהגדרת הטור ומן [[הבינום של ניוטון]], ואין צורך בעובדה שהטור מתכנס לפונקציה מעריכית כדי להוכיח אותה.
פונקציית האקספוננט היא גם הגבול של הסדרה הבאה:
<math display="block">\ e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^n</math>▼
▲<math>\ e^x = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{x}{n} \right) ^n</math>
למעשה, באופן כללי בכל אלגברת בנך הפונקציה הזו וטור החזקות שהוצג לעיל תמיד מתכנסים לאותו גבול.
===תכונות===
הפונקציה <math>\ e^x</math> [[פונקציה רציפה]] ו[[נגזרת|גזירה]] (משום שהיא ניתנת להצגה כסכום של טור חזקות מתכנס בכל הישר). בנוסף, הנגזרת של האקספוננט היא שוב האקספוננט -
<math display="block">\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) ' = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} \right) ' = \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cdot x^{n-1} }{n!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} </math>▼
▲<math>\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) ' = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x^n}{n!} \right) ' = \sum_{n=1}^\infty \frac{n \cdot x^{n-1} }{n!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} </math>
כאשר המעבר מהשוויון הראשון לשני נעשה על פי [[טור פונקציות#נגזרת ואינטגרל של טור|כללי גזירה בטורים]], והמעבר מהשוויון השלישי לאחרון נעשה על ידי ההחלפה <math>\ k=n-1</math>.<br>
תכונה זו כמעט ייחודית לפונקציית האקספוננט, כלומר אם <math>\ f(x) = f'(x)</math> לכל <math>\ x</math> אז <math>\ f(x) = C e^x</math> כלומר <math>\ f</math> היא פונקציית האקספוננט עד כדי כפל בקבוע ממשי. לכן, ניתן '''להגדיר''' את האקספוננט כפונקציה (היחידה) שמקיימת את [[משוואה דיפרנציאלית|המשוואה הדיפרנציאלית]]:
| |||