תהודה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
פירוש נוסף |
מ בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-<div style="text-align: *center;">[ \n]*<math>(.+?)</math>[ \n]*</div> +<math display="block">\1</math>) |
||
שורה 45:
המודל המתמטי המוצג להלן לתיאור של תהודה מניח שהגורם הראשי לרוויה הוא חיכוך. מניחים לשם פשטות שדרגת החופש הרלוונטית של המערכת ניתנת לתיאור על ידי מתנד הרמוני מרוסן, והוא מאולץ על ידי כוח חיצוני מחזורי. משוואת הכוחות המתארת את המערכת היא:
<math display="block">\ m \frac{d^2 u}{d t^2} + \gamma \frac{du}{dt} + m \omega_0^2 u=F \cos ( \omega t)</math
▲<math>\ m \frac{d^2 u}{d t^2} + \gamma \frac{du}{dt} + m \omega_0^2 u=F \cos ( \omega t)</math></div>
כאן <math>\ u</math> היא סטיית המתנד מנקודת [[שיווי משקל של גוף|שיווי המשקל]], <math>\ m</math> היא מסת המתנד, <math>\ \omega_0</math> היא תדירותו העצמית, <math>\ \gamma</math> הוא מקדם החיכוך, ו- <math>\ F</math> ו- <math>\ \omega</math> הם המשרעת והתדירות של הכוח המאלץ, בהתאמה. ה[[פתרון עמיד|פתרון העמיד]] (פתרון בגבול של [[זמן]] ארוך מספיק בו אין תלות ב[[תנאי התחלה|תנאי ההתחלה]] של המערכת) של משוואה זו הוא:
▲<math>\ u(t)=u_0 \cos (\omega t-\phi)</math></div>
כאשר משרעת התנודה היא:
<math display="block">\ u_0=\frac{F}{ \sqrt{m^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+ \gamma^2 \omega^2}}</math
▲<math>\ u_0=\frac{F}{ \sqrt{m^2(\omega^2-\omega_0^2)^2+ \gamma^2 \omega^2}}</math></div>
ואילו פיגור ה[[פאזה (גלים)|פאזה]] נתון בביטוי:
<math display="block">\ \phi=\arctan \left( \frac{\gamma \omega}{m(\omega_0^2-\omega^2)} \right)</math
▲<math>\ \phi=\arctan \left( \frac{\gamma \omega}{m(\omega_0^2-\omega^2)} \right)</math></div>
ההספק הממוצע של הכוח המאלץ, כלומר קצב מעבר האנרגיה למתנד, הינו:
<
מצב התהודה של המערכת הוא כאשר הספק זה נמצא ליד נקודת המקסימום שלו. ערכו המרבי מתקבל כאשר <math>\ \omega=\omega_0</math>, ובמצב זה הסחת הפאזה היא <math>\ \phi=\frac{\pi}{2}</math>.
| |||