|
}}
'''התפלגות בינומית''' היא [[התפלגות בדידה]] המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של n [[ניסויי ברנולי]] בלתי תלויים ושווי הסתברות. ההסתברותאת ל"הצלחה"הטענה בניסויש[[משתנה יחידמקרי]] מסומנתX כהוא בעל התפלגות בינומית מסמנים ב-<math>X\sim \textrm{B}\left(n, p\right)</math>, וההסתברותכאשר ל"כישלון"p היא ההסתברות המשלימהלהצלחה (p-{{כ}}1)בניסוי בודד.
== הוכחת ההתפלגות הבינומית == ▼== סימון ==
ההתפלגות של משתנה בינומי <math>X\sim \textrm{B}\left(n, p\right)</math> היא <math>P\left(X=k\right) = {n \choose k}p^k\left(1-p\right)^{n-k}</math> עבור <math>k=0,1,\ldots,n</math>. הסימון <math>\ \binom{n}{k}</math> מתייחס ל[[מקדם בינומי|מקדם הבינומי]], שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.
[[משתנה מקרי]] X מפולג בינומית מסומן
<math>X\sim \textrm{B}\left(n, p\right)</math>
, וההסתברות לקבלת k הצלחות ב-n ניסויים (<math>k=0,1,\ldots,n</math>) היא:{{ש}}
:<math>
P\left(X=k\right)
=
{n \choose k}
p^k
\left(1-p\right)^{n-k}
</math>{{ש}}
כאשר "[[מקדם בינומי|המקדם הבינומי]]" <math>\ \binom{n}{k}</math> הוא מספר האפשרויות ל-k הצלחות ב-n ניסויים.
אכן, ההסתברות להצליח בדיוק k פעמים בסדרה של n ניסויים שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שבהן יש k הצלחות ו-(n-k) כשלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסויימת (כגון הצלחה-הצלחה-כשלון-כשלון-הצלחה) שווה למכפלה <math>p^k (1-p)^{n-k}</math>. לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את k הניסויים המוצלחים מתוך n, שהוא ה[[מקדם בינומי|מקדם הבינומי]] <math>\ \binom{n}{k}</math>, כפול <math>p^k (1-p)^{n-k}</math>.
כדי לחשב את המקדם הבינומי, מבחינים שיש <math>\ n!</math> (סימן הקריאה מייצג את פונקציית ה[[עצרת]]) דרכים לסדר את n הניסויים.
=== סכום ההסתברויות ===
לאותה מסקנה ניתן להגיע גם בדרך אחרת: ראשית, בוחרים אילו ניסויים הם הצלחות ואילו הם כישלונות, ואז מסדרים את ההצלחות (יש <math>\ k!</math> אפשרויות סידור), ואת הכישלונות (יש <math>\ (n-k)!</math> אפשרויות סידור).
כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על-ידי [[נוסחת הבינום]]: <math>\sum_{k=0}^n {n \choose k}p^k\left(1-p\right)^{n-k} = (p+(1-p))^n = 1^n = 1</math>.
=== תוחלת ושונות ===
מכאן <math>\ n! = \binom{n}{k}\cdot k! \cdot (n-k)!</math>, ולכן: <math>\ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}</math>
מכאן גם שמה של ההתפלגות: ה"בינום" שבשמה מגיע מ[[מקדמי הבינום]] שבהגדרתה.
ה[[תוחלת]] של משתנה מקרי בינומי היא <math>\ np</math> ואילו ה[[שונות]] שלו היא <math>\ np(1-p)</math>.
=== קירובים ===
ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי n גדולים מאוד וערכי p קטנים מאוד על ידי שימוש ב[[התפלגות פואסון]] עם פרמטר
<math>\ \lambda = np</math>.
כדי להיווכח כי ההתפלגות אכן מתארת את הסיכוי לקבלת k הצלחות בסדרה של n ניסויים בלתי תלויים, נשים לב כי מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הרי שההסתברות שתתקבל סדרה אחת של k הצלחות במקומות '''מסוימים''' היא <math>\ p^k(1-p)^{n-k}</math>,
שכן זה בדיוק הסיכוי שב-k המקומות שבהם אנו רוצים שתהיה הצלחה אכן תתקבל הצלחה (בהסתברות <math>\ p</math>) ולפיכך ב-n-k מקומות יהיה כישלון (בהסתברות המשלימה, <math>\ 1-p</math>).
לכן, ההסתברות שבסדרה יהיו k הצלחות במקומות '''כלשהם''' שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות שבהם יש k הצלחות במקומות מסוימים. כלומר, ההסתברות היא <math>\ t\cdot p^k(1-p)^{n-k}</math>, כאשר <math>\ t</math> הוא מספר הסדרות שבהן יש בדיוק k הצלחות. כדי לראות כמה סדרות כאלו קיימות, נשים לב שמספרן הוא בדיוק מספר האפשרויות לבחור את k המקומות שבהם יהיו הצלחות מתוך כלל n המקומות. ניתן להוכיח ב[[קומבינטוריקה]] כי המספר <math>\ t</math> הוא בדיוק [[מקדם בינומי|המקדם הבינומי]] <math>\ {n\choose k} =\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
נוכיח באינדוקציה שסכום ההסתברויות שווה ל-1:
עבור <math>n=1</math> הכלל מתקיים, מכיוון ש-<math>\sum_{i=0}^1 {1 \choose i}*p^i*(1-p)^{1-i}=1*1*(1-p)+1*p*1=1-p+p=1</math>
נניח נכונות עבור n, ונוכיח עבור n+1.
נשתמש בזהות הקומבינטורית <math>{n \choose k} ={{n-1} \choose {k} } + {{n-1} \choose {k-1} } </math>.
<math>\sum_{i=0}^{n+1} {n+1 \choose i}p^i (1-p)^{n-i+1} = \sum_{i=0}^{n+1} ( {n \choose i}+ {n \choose i-1})p^i (1-p)^{n-i+1} = \sum_{i=0}^{n+1} {n \choose i} p^i(1-p)^{n-i+1} \sum_{i=0}^{n+1}+ {n \choose i-1}p^i (1-p)^{n-i+1}</math>
נשים לב ש-<math>n \choose {n+1} </math> שווה 0, וגם <math>n \choose -1</math> שווה 0, ולכן אפשר לעדכן את האינדקסים:
<math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} p^i(1-p)^{n-i+1} \sum_{i=1}^{n+1}+ {n \choose i-1}p^i (1-p)^{n-i+1}</math>.
ניתן לפשט את צד שמאל על פי הנחת האינדוקציה: <math>\sum_{i=0}^n {n \choose i} p^i(1-p)^{n-i+1} = (1-p)*\sum_{i=0}^n {n \choose i} p^i(1-p)^{n-i}=(1-p) </math>
נפשט גם את צד ימין: <math>\sum_{i=1}^{n+1}+ {n \choose i-1}p^i (1-p)^{n-i+1} \stackrel{*}{=} \sum_{i=0}^{n}+ {n \choose i}p^{i+1} (1-p)^{n-i}=p* {n \choose i}p^{i+1} (1-p)^{n-i}\stackrel{**}{=}p</math>
<math>\stackrel{*}{=}</math> - הקטנו את הריצה של האינדקס ב-1, ולכן צריך להגדיל את כל המופעים של האינדקס ב-1
<math>\stackrel{**}{=}</math> - הנחת האינדוקציה
==התפלגות בינומית שלילית==
| 