מכניקה של גוף קשיח – הבדלי גרסאות

[[קובץ:Gyroscope operation.gif|שמאל|ממוזער|200px|[[גירוסקופ]] המאופיין בתנועה סיבובית מורכבת, אשר נחקרת במסגרת מכניקת הגוף הקשיח]]

ענף זה של ה[[מכניקה]] מטפל במספר תופעות הנוגעות לגופים קשיחים ובפרט מאפשר לנתח את תנועתם הסיבובית של גופים קשיחים סביב עצמם. הכלים של מכניקת הגוף הקשיח מאפשרים את ניתוחם ותכנונם של גופים כדוגמת ה[[סביבון]], ה[[גירוסקופ]] ו{{פירושון|נדנדה|נדנדות}} למיניהן, כמו גם [[גלגל שיניים|גלגלי שיניים]] ורכיבים מכניים נוספים.

 

 

* ה[[תנע]] הקווי של גוף נקודתי מוגדר כמכפלת מהירותו של הגוף ב[[מסה|מסתו]], או בניסוח מתמטי: <math>\vec p=m\vec v</math>. ההיטל של וקטור התנע על ציר מסוים מהווה, באופן אינטואיטיבי, מדד ל"כמות התנועה" בציר זה. באופן דומה, מוגדר וקטור ה[[תנע זוויתי|תנע הזוויתי]], <math>\vec L</math>, כך שההיטל שלו על ציר מסוים מהווה מדד ל"כמות הסיבוב" סביב ציר זה. התנע הזוויתי מוגדר כ[[מכפלה וקטורית]] של מיקום הגוף בתנעו הקווי, או בכתיב מתמטי: <math>\vec L=\vec r\times\vec p</math>. הבדל משמעותי בין התנע הקווי לתנע הזוויתי הוא שהתנע הקווי מקביל למהירות, ואילו וקטור התנע הזוויתי '''ניצב''' למישור הסיבוב של הגוף. ניתן גם להציג את התנע הזוויתי על ידי מכפלת [[מומנט התמד|מומנט ההתמד]] שלו ב[[מהירות זוויתית|מהירותו הזוויתית]] <math>\vec L = I\vec\omega</math> (ראו הסבר בהמשך).

*[[החוק השני של ניוטון]] קובע כי נגזרתו של התנע הקווי לפי הזמן היא גודל הכוח הפועל הגוף, או בשפה מתמטית: <math>\sum \vec F=m \vec a</math>. בצורה פשטנית, ניתן לומר שגודל זה גורם לשינוי בתנועה הקווית. המקביל הסיבובי אליו, הגורם כביכול לשינוי בתנועה הסיבובית של הגוף הקשיח, נקרא [[מומנט כוח]], <math>\vec \tau</math>, והוא מוגדר כמכפלה ווקטורית בין הכוח למיקומו של הגוף. בשפה מתמטית: <math>\vec \tau = \vec{r} \times \vec{F} </math>. הכללה ישירה של החוק השני של ניוטון קובעת כי <math> \vec\tau=\frac{d}{dt}\vec L=I\vec\alpha</math>. כלומר, בהיעדר מומנטים חיצוניים, התנע הזוויתי במערכת נשמר.

* בדינמיקת החלקיק, מהווה ה[[מסה]] מדד להתנגדותו של גוף לשינוי תנועתו הקווית. הגודל המקביל בדינמיקה של גוף קשיח נקרא [[מומנט התמד]], המבטא מדד להתנגדותו של גוף לשינוי בתנועה הסיבובית שלו. היות שניתן לסובב גוף במספר כיוונים, מומנט ההתמד לא יכול להיות מורכב ממספר אחד בלבד (כמו המסה) אלא צריך להכיל מידע על התנגדות הגוף לסיבוב בכל הכיוונים. בשפה פיזיקלית אומרים כי מומנט ההתמד הוא [[טנזור]] (בניגוד למסה שהיא [[סקלר (פיזיקה)|סקלר]]). עם זאת, בבעיות פשוטות שבהן הגוף מסתובב תמיד סביב ציר אחד (כמו במקרה של [[קרוסלה]], לדוגמה) ניתן להחליף את הטנזור המלא של מומנט ההתמד במספר יחיד. קל לייצג את טנזור מומנט ההתמד על ידי [[מטריצה]], ובכל פעם ש־<math>I</math> מופיע במשוואה, יש להבין את המשוואה כמכפלה של מטריצה בוקטור. כאשר רוצים להדגיש את עובדת היותו טנזור, הוא מסומן עם [[גג (סימן דיאקריטי)|גג]]: <math>\hat I</math>. לדוגמה, הנוסחה <math>\vec L = \hat I\vec\omega</math> מבטאת את העובדה שישנם מצבים בהם התנע הזוויתי אינו מקביל למהירות הזוויתית.

 

תיאור תנועתו המלאה של גוף קשיח דורש שימוש בשש [[דרגות חופש]], שלוש לתיאור תנועתו הקווית ושלוש נוספות לתיאור תנועתו הסיבובית, כאשר חוקי הבסיס המתארים את התנהגות התנע והכוח נשמרים אף עבור מקביליהם המתארים גוף קשיח. לפיכך, במערכת מתקיים שימור תנע זוויתי, כאשר שקול המומנטים על המערכת מתאפס.

 

-->

 

 

מבחינת החישוב, חלק מהמשוואות הופכות פשוטות יותר אם מלכסנים את טנזור מומנט ההתמד. כך, למשל, האנרגיה הקינטית הכוללת במצב זה היא סכום האנרגיות המתקבלות מתנועה סביב כל אחד מהצירים.{{הערה|בכתיב מתמטי:

 

המשוואות המתארות תנועות מורכבות של גוף קשיח, בפרט כאלו הכוללות [[נקיפה]] ו[[נוטציה (פיזיקה)|נוטציה]], נקראות [[משוואות אוילר (מכניקה של גוף קשיח)|משוואות אוילר]], על שמו של ה[[פיזיקאי]] וה[[מתמטיקאי]] [[לאונרד אוילר]]. אלו הן שלוש משוואות הקושרות את מומנטי ההתמד של הגוף סביב ציריו הראשיים, מומנטי הכוח הפועלים עליו, המהירויות הזוויתיות סביב צירים אלו וקצב השינוי שלהן(התאוצה הזוויתית) ב[[מערכת ייחוס|מערכת הייחוס]] של הגוף הנע.{{הערה|המשוואות הן{{ש}}