אלגברה לא אסוציאטיבית – הבדלי גרסאות

'''אלגברה לא אסוציאטיבית''' היא [[מבנה אלגברי]] המכליל [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגבראות אסוציאטיביות]], בו לא נדרשת אקסיומת ה[[אסוציאטיביות]]. במליםבמילים אחרות, אלגברה לא אסוציאטיבית היא [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] לא אסוציאטיבי <math>\ A</math> שבמרכזו חוג [[חילופיות|קומוטטיבי]] <math>\ C</math>. אלגבראות אלו נקראות לעיתים גם '''אלגבראות דיסטריביוטיביות''', שכן זוהי התכונה היחידה שנדרשת מפעולת הכפל באלגברה.

באלגבראות אלו, תכונת האסוציאטיביות עשויה להתקיים גם כאשר היא אינה נדרשת על-פי האקסיומות, ולכן כל אלגברה אסוציאטיבית היא סוג של "אלגברה לא אסוציאטיבית". תכונות והגדרות בסיסיות רבות של אלגבראות אסוציאטיביות נשמרות גם במקרה הלא-אסוציאטיבי (כדוגמת הגדרת תת-אלגבראות, [[אידאלאידיאל (אלגברה)|אידיאלים]], [[חוג פשוט|אלגבראות פשוטות]], [[משפטי האיזומורפיזם]]). עם זאת, תורת המבנה של אלגבראות לא אסוציאטיביות עשירה יותר מזו של האלגבראות האסוציאטיביות, ובאותו הזמן גם מסובכת יותר. תכונות מבנה בסיסיות של אלגבראות אלו ידועות, אך משפטי מבנה ומיון חזקים כבתורה האסוציאטיבית אינם בנמצא בתורה הלא אסוציאטיבית הכללית.

'''אלגברת הפעולות''' של A הנההיא תת-האלגברה <math>M(A) \subseteq \operatorname{End}(A)</math> הנוצרות על ידי ההעתקות <math>R_x, L_x</math> לכל <math>x \in A</math>, כאשר <math>L_x, R_x : A \rightarrow A</math> מקיימות <math>L_x(y) = xy</math> ו-<math>R_x(y) = yx</math>. אלגברה זו פועלת על A, ויתרה מכך על כל [[אידאלאידיאל (אלגברה)|אידיאל]] של A. אם A היא סוף-ממדית ופשוטה למחצה או פשוטה, אז גם אלגברת הפעולות מקיימת תכונה זו.

בדומה לתורה האסוציאטיבית, גם במקרה הלא אסוציאטיבי מוגדרים מונחי הנילפוטנטיות והפתירות, באופן המכליל את התורה המוכרת. בהינתן אלגברה לא אסוציאטיבית A, מגדירים ב[[אינדוקציה]] <math>A^1=A^{(0)}=A</math>, ו- <math>A^{n+1} = \sum_{i+j=n+1}{A^i\cdot A^j}, \quad A^{(n+1)} = A^{(n)} \cdot A^{(n)}</math>. אלו הן כמובן תת-אלגבראות של A; היות שבאופן כללי חזקה של איבר לא מוגדרת היטב באלגברה לא אסוציאטיבית, ההגדרה של

כמו בתורה האסוציאטיבית, הרדילקים מהווים כלי מחקר של האלגבראות - ברגע שנמצא רדיקל מתאים <math>R(A)</math> למחלקת האלגבראות, נחקרות האלגבראות הרדיקליות - המקיימות <math>A=R(A)</math>, והאלגברואת הפשוטות למחצה, המקיימות <math>R(A)=0</math>. הגדרת רדיקל כזה איננה פשוטה במקרה הכללי; כך למשל, הרדיקל הנילי לא מוגדר היטב ב[[אלגברת לי|אלגבראות לי]] (בהן תופס את תפקיד הרדיקל החשוב <math>S(A)</math>). רדיקל חשוב נוסף הוא '''רדיקל הפשטות''', המוגדר בתור האידיאל המינימלי <math>N(A)</math>, כך שהאלגברה <math>A/N(A)</math> מתפרקת לסכום ישר של אלגבראות פשוטות. רדיקל זה מוגדר לכל אלגברה סוף-ממדית, ומתלכד עם רדיקל הפתירות במשפחות שצוינו לעיל.

* לכל <math>a\neq 0 , b</math> קיימים ויחידים <math>x,x'</math> כך ש-<math>ax=b,x'a=b</math>.

* An Introduction to Nonassociative Algebra, R. D. Schafer.

* Non-Associative Structures, E. N. Kuzmin, I. P. Shestakov.