נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
סקריפט החלפות (ליניארי, ,) |
|||
שורה 1:
ב[[אלגברה]], '''נוסחת לייבניץ לדטרמיננטות''' מבטאת את ה[[דטרמיננטה]] של [[מטריצה ריבועית]] באמצעות [[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] של איברי המטריצה. היא נקראת על שם ה[[מתמטיקאי]] וה[[פילוסוף]] [[גוטפריד וילהלם לייבניץ]].
אם ''A'' היא מטריצה מסדר ''n''×''n''
:<math>\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) \prod_{i = 1}^n a_{\sigma(i), i},</math>
שורה 7:
כאשר sgn היא [[פונקציית הסימן]] של התמורות ב[[החבורה הסימטרית|חבורת התמורות]] ''S''<sub>''n''</sub>, והיא מחזירה 1+ אם התמורה זוגית (כלומר אם היא מתקבלת מתמורת הזהות על ידי מספר זוגי של חילופים) ו-1- אם התמורה אי-זוגית. מילולית ניתן לפרש את הנוסחה כסכום כל המכפלות האפשריות של ''n'' מאיברי המטריצה כאשר הם נבחרים כך שאין שניים באותה עמודה או שורה.
נוסחה זו היא הביטוי המתמטי היחיד המקבל כמשתנים את ''n''<sup>''2''</sup> איברי המטריצה, ומהווה תבנית מולטי-
את כמה מהתכונות הבסיסיות של הדטרמיננטה, כגון התאפסותה עבור [[תלות
חישוב ישיר של הדטרמיננטה על פי נוסחת לייבניץ דורש באופן כללי <math>\Omega(n! \cdot n)</math> פעולות ב[[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]]; זהו תהליך לא יעיל בעבור מטריצות גדולות. בעזרת [[דירוג מטריצות]] ניתן להוריד זאת ל-(O(''n''<sup>3</sup>, זאת שכן הדטרמיננטה של [[מטריצה משולשית]] שווה למכפלת איברי האלכסון הראשי שלה, ואת הדטרמיננטה המקורית ניתן לשחזר באמצעות "זכירת" הפעולות האלמנטריות שביצענו עד כה אשר שינו את ערכה.
== ראו גם ==
* [[דטרמיננטה]]
* [[כלל קרמר]]
| |||