שדה סדור – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←סגוֹרים: תקלדה, replaced: בניה ← בנייה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 29:
לפי משפט ידוע של Springer, אם F סדור, אז כל [[הרחבה של שדות|שדה הרחבה]] K/F מ[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] אי-זוגי, ניתן גם הוא לסידור (מספר הדרכים להרחיב את הסדר של F אינו עולה על הממד <math>\ [K:F]</math>).
== ארכימדיות ואוניברסליות ==
יהי F שדה סדור. שני אברים חיוביים x,y הם '''ברי-השוואה''' אם קיים n כך ש-<math>\ \frac{1}{n}<x/y<n</math>. קבוצת מחלקות השקילות מהווה חבורה סדורה ביחס לכפל, ונקראת '''חבורת המחלקות הארכימדיות''' של השדה. השדה הוא [[שדה סדור ארכימדי|ארכימדי]] אם ורק אם חבורת מחלקות הארכימדיות שלו טריוויאלית. [[הרחבת שדות]] E/F היא '''הרחבה ארכימדית''' אם כל איבר של E בר-השוואה לאיבר של F. השדה '''סגור ארכימדית''' אם אין לו הרחבות ארכימדיות.
תהי <math>\ \Gamma</math> [[חבורה סדורה|חבורה אבלית סדורה לינארית]]. אם F שדה כלשהו, מסמנים ב-<math>\ F(\!(\Gamma)\!)</math> את הסכומים הפורמליים <math>\ \sum_{\gamma \in \Gamma} \alpha_\gamma \gamma</math> שיש להם [[תומך (מתמטיקה)|תומך]] [[קבוצה סדורה היטב|סדור היטב]], עם החיבור והכפל הטבעיים. זהו שדה, הקרוי [[שדה האן מוכלל]] (על-שם Hans Hahn). אם F סדור, יש סדר טבעי ההופך גם את <math>\ F(\!(\Gamma)\!)</math> לשדה סדור. '''משפט השלמות של האן''' קובע שלכל חבורה סדורה <math>\ \Gamma</math>, השדה הסדור היחיד שהוא סגור ארכימדית ובעל חבורת מחלקות ארכימדיות איזומורפית ל-<math>\ \Gamma</math> הוא השדה <math>\ {\mathbb{R}}(\!(\Gamma)\!)</math>. זוהי הכללה של העובדה ש[[שדה המספרים הממשיים]] הוא השדה הסדור הארכימדי היחיד שהוא סגור ארכימדית. '''משפט השיכון של האן''' קובע שכל שדה סדור E אפשר לשכן כתת-שדה של <math>\ {\mathbb{R}}(\!(\Gamma)\!)</math> כך שההרחבה ארכימדית, כאשר <math>\ \Gamma</math> חבורת המחלקות הארכימדיות של E.
[[שדה המספרים הסוריאליסטיים]] הוא שדה סדור (שאינו קבוצה אלא מחלקה), וכל שדה סדור ניתן לשיכון בתוכו באופן יחיד.▼
== סדר וטופולוגיה ==
שורה 47 ⟵ 55:
===סגוֹרים===
כל שדה סדור F מוכל בשלושה שדות <math>\ F \subseteq F_{pyth} \subseteq F_{e} \subseteq \bar{F}</math>, שכולם [[הרחבה אלגברית|אלגבריים]] מעל F, והם מקיימים את התכונות הבאות: <math>\ \bar{F}</math> סגור ממשית (שלא כמו בניית ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]], בנייה זו אינה זקוקה ל[[הלמה של צורן|למה של צורן]]); <math>\ F_{e}</math> הוא שדה אוקלידי, שאפשר לקבל כשרשרת של הרחבות, שבכל אחת מהן מוסיפים לשדה הקודם את כל השורשים של איברים חיוביים; ואילו <math>\ F_{pyth}</math> הוא שדה פיתגורי, המתקבל כחיתוך של כל תת-השדות הפיתגוריים של <math>\ \bar{F}</math> המכילים את F.
▲[[שדה המספרים הסוריאליסטיים]] הוא שדה סדור (שאינו קבוצה אלא מחלקה), וכל שדה סדור ניתן לשיכון בתוכו באופן יחיד.
[[קטגוריה:שדות סדורים]]
| |||