המודל הבינומי לתימחור אופציות – הבדלי גרסאות

 

'''התוצאה הנדרשת - שווי האופציה להיום, בהסתמך על הנתונים הבאים:'''

 

קיימים שני מצבי טבע (מכאן השם:'''בינומי''') :

 

'''שווי האופציה הנגזר בתום התקופה'''

*במצב טבע '''2''' שווי האופציה יהיה אפס (לא כדאי לממשה).

 

 

'''המשקיע "הבינומי" הדמיוני''' בונה לעצמו '''אסטרטגיית השקעה חסרת סיכון'''. בבסיס האסטרטגיה מונח העיקרון שבסוף התקופה מצבו יהיה זהה בשני מצבי הטבע, בלתי תלוי במחיר המניה.

 

'''תזרים המזומנים הנוכחי''' של המשקיע הוא 3C - 100 + 47.62

 

 

'''תזרים המזומנים העתידי'''

בשני המקרים תזרים המזומנים העתידי הוא '''אפס.'''

מכאן ששווי תזרים המזומנים הנוכחי של המשקיע שווה אף הוא לאפס.

 

* אם תזרים המזומנים הנוכחי הוא '''חיובי''', כלומר מחיר האופציה בשוק גבוה יותר משוויה, (למשל 20 שקלים) כי אז קל להראות שכל משקיע רציונלי ינקוט באסטרטגיה זו, קרי ימכור אופציות ויקנה מניות. אם התזרים '''שלילי''', כלומר מחיר האופציה בשוק נמוך יותר משוויה, כל משקיע ינקוט באסטרטגיה ההפוכה. '''[[ארביטראז']]''' בשוק יביא לשינוי במחירים עד שהתזרים יתאפס.

 

==== פתירת המודל הבינומי באמצעות הסתברויות מותאמות לסיכון (Risk Neutral Probabilities) ====

במספרי הדוגמה הקודמת, ניתן לראות כי במצב טבע Up שווי המניה הוא 200% לעומת שוויה הנוכחי (100 בעוד כתקופה לעומת 50 כיום). לכן, נסמן כי הפרמטר u=2.

כמו כן, במצב טבע Down שווי המניה הוא 50% לעומת שוויה הנוכחי (25 בעוד כתקופה לעומת 50 כיום), ולכן נסמן את הפרמטר d=0.5.

 

שווי האופציה יחושב לכן כתוחלת שווי האופציה ביום הפקיעה, מחושבת על ידי הסתברויות מותאמות לסיכון ומהוונת להיום בשיעור הריבית:

 

השווי שהתקבל, באופן לא מפתיע, שווה בדיוק לשווי שהתקבל באמצעות שיטת ה-Replicating Portfolio. למעשה, מבחינה מתמטית שתי השיטות זהות לחלוטין ולכן התוצאה הזהה.