שדה מושלם

באלגברה, שדה מושלם (Perfect field) הוא שדה אשר כל הרחבת שדות סופית שלו היא הרחבה ספרבילית. תכונה זו באה לידי ביטוי במשפטים רבים בתורת השדות ובתורת גלואה, בהם מסתמכים על היות שדה הבסיס מושלם. רוב השדות שנבחנים בתורות אלו הם שדות מושלמים.

תכונות

על פי ההגדרה, בכל שדה מושלם כל איבר הוא ספרבילי - הפולינום המינימלי שלו מתפרק לגורמים שונים (מעל סגור אלגברי של השדה), שמספרם הוא כדרגת הפולינום. הסגור הספרבילי של שדה מושלם הוא גם סגור אלגברית.

כל שדה ממאפיין 0 הוא משולם. שדה ממאפיין ראשוני $p>0$ הוא משולם אם ורק אם כל איבר בו שווה לחזקה $p$ של איבר אחר, כלומר הומומורפיזם פרובניוס שלו מהווה אוטומורפיזם של השדה. תכונה זו מהווה למעשה את ההגדרה כללית יותר למושלמות עבור אובייקט אלגברי - חוג ממאפיין $p>0$ נקרא חוג מושלם אם הומומורפיזם פרוביניוס שלו הוא איזומורפיזם חוגים.

כל שדה לא מושלם הוא טרנסצנדנטי מעל תת-השדה המינימלי שלו.

דוגמאות

• כאמור לעיל, כל השדות ממאפיין אפס, דוגמת המספרים הרציונליים והממשיים (וכל הרחבה אלגברית שלהם) הם שדות מושלמים.
• כל השדות הסופיים $\mathbb {Z} /p$ וההרחבות הסופיות שלהם הם שדות שלמים.
• השדה $\mathbb {Z} _{p}(X)$, שדה הפונקציות הרציונליות מעל השדה $\mathbb {Z} /p$, הוא שדה לא מושלם.

לקריאה נוספת

• Cohn, P.M. (2003), Basic Algebra: Groups, Rings and Fields