|
ב[[אלגברה ליניארית]], '''מטריצה אורתוגונלית''' היא [[מטריצה ריבועית]] שרכיביה ממשיים המקיימת את התנאי <math>\ A^t A = A A^t = I</math>, כאשר <math>\ I</math> היא [[מטריצת היחידה]], ו- <math>\ A^t</math> היא ה[[מטריצה משוחלפת|מטריצה המשוחלפת]] של <math>\ A</math>. למטריצות כאלו יש [[דטרמיננטה]] שהיא 1+ או 1-. לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם. העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיס]] [[אורתונורמליות|אורתונורמלי]] למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם [[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] הסטנדרטית.
== אפיונים שקולים ==
העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות [[בסיס (אלגברה ליניארית)|בסיס]] [[אורתונורמליות|אורתונורמלי]] למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם [[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] הסטנדרטית.
למטריצות אורתוגונליות ישנן מספר הגדרות שקולות, החשובות בהן הן:
* <math>\ A A^t = I</math>, כלומר <math>\ A^t = A^{-1}</math>.
* <math>\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{Av} \cdot \vec{Aw}</math>, כלומר שהכפל של וקטורים ב-<math>\ A</math>משמר מכפלה סקלרית.
* העמודות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.
* השורות של המטריצה הן בסיס אורתונורמלי.
2 הקריטריונים האחרונים דומים זה לזה והם שקולים מאחר שאם <math>\ A</math>אורתוגונלית, כך גם <math>\ A^{t}</math>.
== חבורת המטריצות האורתוגונליות ==
אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל <math>\ n\times n</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F [[סגירות (אלגברה)|סגור]] ל[[כפל מטריצות|כפל]], והוא מהווה [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] [[חבורה אלגברית|אלגברית]] שמקובל לסמן ב- <math>\ O_n(F)</math>. מעל [[שדה המספרים הממשיים]], <math>\ O_n(\mathbb{R})</math> היא [[חבורה קומפקטית]].
ה[[דטרמיננטה]] של מטריצה אורתוגונלית היא <math>\ 1</math> או <math>\ -1</math>. המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה <math>\ SO_n(F)</math> של <math>\ O_n(F)</math>. בשדה מ[[מאפיין של שדה|מאפיין]] שונה מ-2, <math>\ SO_n(F) \triangleleft O_n(F)</math> היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). ה[[מטריצה סקלרית|מטריצות הסקלריות]] האורתוגונליות הן <math>\ \pm I</math>, ומגדירים את חבורות המנה <math>\ PO_n(F) =O_n(F)/\langle-I\rangle</math> ו- <math>\ PSO_n(F) = SO_n(F)/(\langle -I\rangle \cap SO_n(F))</math>.
המטריצה <math>\ -I</math> שייכת ל- <math>\ SO_n(F)</math> אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות <math>\ O_n, SO_n, PO_n, PSO_n</math> שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, <math>\ O_n \cong SO_n \times \langle -I \rangle</math> ו- <math>\ PO_n \cong SO_n = PSO_n</math>.
=== המקרה n=2 ===
| 