אי-שוויון הלדר – הבדלי גרסאות

 

 

ניתן להוכיח את אי השוויון באמצעות [[אי-שוויון יאנג]] או באמצעות [[אי-שוויון ינסן]].

==הוכחה==

 

 

כעת נסמן <math>S_a = \sum_{i=1}^{n} a_i, S_b = \sum_{i=1}^{n} b_i</math> ולפי הטענה הנ"ל מתקיים <math display="block">\sum_{i=1}^{n} \left ( \frac{a_i}{S_a} \right )^\alpha \cdot \left ( \frac{b_i}{S_b} \right )^\beta \leq \sum_{i=1}^{n} \left ( \alpha \cdot \frac{a_i}{S_a} \right) + \sum_{i=1}^{n} \left ( \beta \cdot \frac{b_i}{S_b} \right) = \alpha + \beta = 1</math> נכפיל את שני האגפים ב <math>S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta</math> ונקבל את אי השוויון הרצוי <math>\sum_{i=1}^{n} a_i^\alpha \cdot b_i^\beta \leq S_a ^ \alpha \cdot S_b^\beta</math>.