23 הבעיות של הילברט – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←טבען של הבעיות: תקלדה |
←אי-פתירות: הרחבה |
||
שורה 15:
הבעיה ה-10 לא שואלת אם קיים [[אלגוריתם]] שקובע עבור [[משוואה דיופנטית]]<nowiki/>אם היא פתירה, אלא שואל במקום זה לבנות את אותו אלגוריתם: "להמציא תהליך שייקבע, בכמות סופית של פעולות, אם המשוואה פתירה ב[[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]]". הבעיה נפתרה והוכח כי לא קיים אלגוריתם שכזה, מה שסתר את הפילוסופיה של הילברט למתמטיקה.
בדיון על דעתו שלכל בעיה מתמטית אמור להיות פתרון, הילברט מכיר בעובדה שהפתרון יכול להיות הוכחה שהבעיה המקורית אינה אפשרית. הוא קובע כי הנקודה היא לדעת בצורה כזו או אחרת מהו הפתרון, והוא האמין שאנחנו תמיד יכולים לדעת את הפתרון, שאין במתמטיקה שום "ignorabimus" (טענה שאי אפשר לקבוע או למצוא את הנכונות שלה). {{אנ|Ignoramus et ignorabimus}}
== גרסאות המשך ==
מאז 1900, מתמטיקאים וארגונים מתמטיים הכריזו על רשימות של בעיות מתמטיות, אבל לרשימות הללו לא הייתה אותה השפעה והן לא ייצרו אותה עבודה רחבה כמו הבעיות של הילברט (פרט למעט יוצאי דופן).
אחד מיוצאי הדופן הבודדים היא רשימה של שלוש השערות שנעשו על ידי [[אנדרה וייל]] בסוף שנות ה-40'. בתחומים של [[גאומטריה אלגברית]], [[תורת המספרים]] ומה שמקשר בין השניים, השערות וייל היו חשובות ביותר.{{מקור|סיבה=}} הראשונה מהשערות וייל הוכחה על ידי [[ברנרד דוורק]], והוכחה שונה לגמרי לשתי ההשערות הראשונות ניתנה על ידי [[אלכסנדר גרותנדיק]]. האחרונה והעמוקה מבין השערות וייל (אנלוג ל[[השערת רימן]]) הוכחה על ידי [[פייר דליניה]]. גרותנדיק ודליניה קיבלו שניהם [[מדליית פילדס]] על עבודתם. עם זאת, השערות וייל הן מעיין "בעיית הילברט אחת" בתוך התחום שלהן, והילבר מעולם לא חשב עליהן כמכסות את כל המתמטיקה.
[[פאול ארדש]] העלה מאות אם לא אלפי בעיות מתמטיות, הרבה מהן עמוקות. ארדש לעיתים קרובות הציע סכומים כספיים; הגודל של הסכום נקבע על פי קושי הבעיה.
לפחות בתקשורת המיינסטרים, רשימת הבעיות של המאה ה-21 דה פאקטו הן 7 [[בעיות המילניום של מכון קליי|בעיות המילניום]] שנבחרו בשנת 2000 על ידי [[מכון קליי למתמטיקה]]. בשונה מהבעיות של הילברט, שבהן הפרס המרכזי היה הכבוד של הילברט בפרט ושל הקהילה המתמטית ככלל, הפרס על כל אחת מהבעיות הוא מיליון דולר. בדומה לרשימה של הילברט, אחת מהבעיות ([[השערת פואנקרה]]) נפתרה יחסית מוקדם אחרי שהכריזו על הבעיות.
[[השערת רימן]] בולטת בכך שהיא נמצאת ברשימת הבעיות של הילברט, מכון קליי, ואפילו בהשערות וייל, בצורה הגאומטרית שלה. על אף שנוסתה על ידי מתמטיקאים גדולים רבים בני ימינו, ההשערה לא הוכחה או הופרכה יותר מ-100 שנים. הילברט עצמו הכריז: "אם הייתי נכנס לתרדמת של אלף שנים, הדבר הראשון שהייתי שואל אחרי ההעוררות יהיה: האם הוכיחו את השערת רימן?"{{מקור|סיבה=}}
==רשימת הבעיות==
| |||