הומוטופיה – הבדלי גרסאות

'''הומוטופיה''' בין שתי [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציות רציפות]] ''<math>f''</math> ו-''<math>g''</math> ממרחב טופולוגי ''<math>X''</math> למרחב טופולוגי ''<math>Y''</math>, היא פונקציה רציפה

<math> H:X \times [0,1] \to Y</math> מה[[מכפלה טופולגית|מכפלה הטופולוגית]] של המרחב ''<math>X</math>'' במרווח היחידה <math>[0,1]</math>, אל המרחב ''<math>Y</math>'', כך שעבור כל הנקודות ''<math>x''</math> ב-''<math>X</math>'' מתקיים <math>H(x,0)=f(x)</math> ו-<math>H(x,1)=g(x)</math>.

נוח לדמיין כי מרווח היחידה <math>[0,1]</math> מתאר את ציר הזמן. אז הפונקציה ''<math>H''</math> מתארת דפורמציה רציפה בזמן של ''<math>f''</math> ל-''<math>g</math>'': כאשר מצטמצמים לזמן 0 ("תחילת ההומוטופיה") מתקבלת הפונקציה ''<math>f</math>'' וכאשר מצטמצמים לזמן 1 ("סוף ההומוטופיה") מתקבלת הפונקציה ''<math>g</math>''.

אם כן, בדוגמה לעיל המסילות הומוטופיות ביחס ל-<math>\partial [0,1] = \{0,1\}</math>. באופן כללי, ב[[חבורה יסודית|חבורה היסודית]] של מרחב טופולוגי, האיברים הם מסילות סגורות שמזוהות עד כדי הומוטופיה ביחס לקצוות קטע היחידה. עקרון זה מוכלל ב[[חבורות ההומוטופיה]].

בעזרת מושג ההומוטופיה ניתן להגדיר [[יחס שקילות]] חשוב בין מרחבים טופולוגיים: שני מרחבים טופולוגיים <math>X</math> ו-<math>Y</math> יקראו '''שקולים הומוטופית''' אם קיימות זוג העתקות <math>f:X \to Y</math> ו-<math>g:Y \to X</math> כך שההרכבה <math>f\circ g: Y \to Y</math> הומוטופית לפונקציית הזהות על <math>Y</math> ואילו <math>g\circ f: X \to X</math> הומוטופית לפונקציית הזהות על <math>X</math>.