העתקה ליניארית – הבדלי גרסאות

הוסרו 40 בתים ,  לפני שנתיים
(זה התנאי)
 
== ההעתקה הדואלית ==
יהיו <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> מרחבים וקטורים מעל שדה כלשהו <math>\ F</math>, ו-<math>\ T</math> העתקה ליניארית מ-<math>\ V</math> ל-<math>\ W</math>.
 
אזינתובנן נגדירב[[מרחב אתדואלי|מרחבים הדואליים <math>TV^*</math> (ו-<math>W^*</math>]] ונגדיר את ההעתקה הדואלית) להיות<math>T^* : W^* \to V^*</math> על ידי:
 
<math>T^*:W^* \rightarrow V^*
</math>
 
<math>(T^*(\varphi))(v) := \varphi(T(v))
</math>
 
כאשר <math>\varphi \in W^*</math> ו-<math>v \in V</math>.
 
=== תכונות===
* <math>T^*</math> היא העתקה ליניארית ומוגדרת היטב.
(נניח את כל מה שכתוב למעלה בתכונות)
* <math>\ker(T^*) = (ImT)^0</math>.
 
* <math>T^*</math> היא העתקה ליניארית ומוגדרת היטב (<math>\operatorname{Im}(T^*) = V(\ker(T))^*0</math>).
* <math>\ker(T^*)</math> =חח"ע (ImT)אם ורק אם <math>T^0*</math> על.
* <math>\operatorname{Im}(T^*)</math> =חח"ע (אם ורק אם <math>\ker( T))^0</math> על.
* יהי <math>B</math> בסיס ל-<math>\ V</math> ו-<math>C</math> בסיס ל-<math>\ W</math>. נסמן ב-<math> B^*</math> וב-<math> C^*</math> בסיסים דואליים ל-<math> B</math> ו-<math> C</math> בהתאמה. אזי: <math> {[T^*]^{C^*}_{B^*}} = ({[T^*]^B_C})^t</math>.
* <math>\ T</math> חח"ע(חד חד ערכית) אמ"מ ([[אם ורק אם]]) <math>T^*</math> על
* <math>T^*</math> חח"ע(חד חד ערכית) אמ"מ (אם ורק אם) <math>\ T</math> על
* יהי <math>B</math> בסיס ל-<math>\ V</math>ו-<math>C</math> בסיס ל-<math>\ W</math>. נסמן ב-<math> B^*</math> וב-<math> C^*</math> בסיסים דואליים ל-<math> B</math> ו-<math> C</math> בהתאמה. אזי: <math> {[T^*]^{C^*}_{B^*}} = ({[T^*]^B_C})^t</math>
* נסמן ב-<math> C_V</math> וב-<math> C_W</math> את [https://math.stackexchange.com/questions/51283/canonical-isomorphism-between-vector-spaces האיזומורפיזמים הקנוניים] של <math>\ V</math> ו-<math>\ W</math> בהתאמה. נגדיר: <math> T^{**} := (T^*)^*
</math>. נקבלאז מתקיים: <math> T^{**}\circ C_V = C_W\circ T</math>.
 
{{אלגברה ליניארית}}