פעולה טרנזיטיבית – הבדלי גרסאות

ב[[תורת החבורות]], '''פעולה טרנזיטיבית''' היא סוג מיוחד של [[פעולת חבורה|פעולה]] של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]]. נניח שהחבורה <math>G</math> פועלת על הקבוצה <math>X</math>. אם לכל שתי נקודות <math>\ x,y\in X</math> קיים איבר <math>\ g\in G</math> המעביר את <math>x</math> ל- <math>y</math>, אז הפעולה היא '''פעולה טרנזיטיבית'''.

במקרים רבים לקבוצה <math>X</math> יש מבנה נוסף (כגון אם <math>X</math> הוא [[תורת הגרפים|גרף]] או [[מרחב מטרי]]). מן העובדה שקיימת חבורה <math>G</math> הפועלת על <math>X</math> באופן טרנזיטיבי (ושומרת על המבנה), כשלעצמה, נובע שכל הנקודות של <math>X</math> דומות זו לזו; במקרה כזה אומרים ש- <math>X</math> [[מרחב הומוגני]] (אם <math>X</math> הוא [[גרף (תורת הגרפים)|גרף]], הוא נקרא '''גרף טרנזיטיבי''').

פעולה טרנזיטיבית מתוארת באופן מלא על ידי המייצב של נקודה, שהוא תת-החבורה <math>\ G_x = \{g \in G: g(x) = x\}</math>. כל המייצבים צמודים זה לזה, והקבוצה <math>X</math> איזומורפית (כקבוצה עם פעולה של <math>G</math>) למרחב הקוסטים <math>\ G/G_x</math>. המייצב הוא תת-חבורה מקסימלית אם ורק אם הפעולה [[פעולה פרימיטיבית|פרימיטיבית]].

כאשר החבורה <math>G</math> פועלת על קבוצה <math>X</math>, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של <math>X</math> עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של <math>X</math>. הפעולה מוגדרת לפי <math>\ g(x_1,\dots,x_k)=(g(x_1),\dots,g(x_k))</math>, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה <math>\ X^k</math> את '''האלכסון המוכלל''' ומשאירים רק את הקבוצה <math>\ X^{[k]}</math> של הווקטורים באורך <math>k</math> שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של <math>G</math>, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.

אם <math>G</math> פועלת באופן טרנזיטיבי על <math>\ X^{[k]}</math>, אז הפעולה שלה על <math>X</math> היא '''פעולה <math>k</math>-טרנזיטיבית'''. ניסוח אחר: <math>G</math> פועלת <math>k</math>-טרנזיטיבית על <math>X</math>, אם לכל <math>\ x_1,\dots,x_k</math> שונים זה מזה, ולכל <math>\ y_1,\dots,y_k</math> שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר <math>\ g(x_i)=y_i</math>. אם יש בחבורה איבר יחיד <math>g</math> כנ"ל, אז הפעולה היא <math>k</math>-טרנזיטיבית '''חדה'''. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה. (פעולה 2-טרנזיטיבית היא תמיד [[פעולה פרימיטיבית|פרימיטיבית]]).

לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> על הקבוצה <math>\ \{1,\dots,n\}</math> היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של [[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>\ A_n</math> על אותה קבוצה היא (<math>n-2</math>)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר <math>\ m<n-1</math>, הפעולה של <math>\ S_n</math> היא <math>m</math>-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.

פעולה על קבוצה אינסופית נקראת '''טרנזיטיבית במידה רבה''' (highly transitive) אם היא <math>k</math>-טרנזיטיבית לכל <math>k</math>, ו[[חבורה אוליגומורפית|אוליגומורפית]] אם לכל <math>k</math> יש מספר סופי של מסלולים של קבוצות בגודל <math>k</math>.

מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. ב-1873 הוכיח Jordan שהחבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי חד הן <math>\ S_4, S_5, A_6</math> ו[[חבורות מתיו|חבורת מתיו]] <math>\ M_{11}</math>; שהחבורות היחידות הפועלות באופן 5-טרנזיטיבי חד הן <math>\ S_5, S_6, A_7</math> וחבורת מתיו <math>\ M_{12}</math>, ושהחבורות היחידות הפועלות באופן <math>k</math>-טרנזיטיבי חד, עבור <math>\ k\geq 6</math>, הן <math>\ S_k,S_{k+1},A_k</math>.

ב-1936 הראה Zassenhaus שהחבורות היחידות הפועלות באופן 3-טרנזיטיבי חד הן <math>\ \operatorname{PGL}_2(q)</math> (לכל חזקת-ראשוני <math>q</math>), ו- <math>\ M(q)</math> (לכל חזקת-ראשוני שהיא ריבוע אי-זוגי); <math>\ M(q)</math> היא תת-חבורה של <math>\ \operatorname{PGL}_2(q)\cdot\langle\sigma\rangle</math> המכילה את <math>\ \operatorname{PSL}_2(q)</math>.

כתוצאה מ[[משפט המיון לחבורות פשוטות סופיות|מיון החבורות הפשוטות הסופיות]], ידוע היום שפרט לחבורות <math>\ S_n</math> ו- <math>\ A_n</math>, החבורות היחידות הפועלות באופן 4-טרנזיטיבי הן ארבע מבין חמש [[חבורות מתיו]] (היינו: <math>\ M_{11}</math> ו- <math>\ M_{23}</math> הן 4-טרנזיטיביות, ו- <math>\ M_{12}</math> ו- <math>\ M_{24}</math> הן 5-טרנזיטיביות)