מכפלה קרטזית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
החלפות (, ) |
|||
שורה 1:
{{סימון מתמטי}}
'''מַכְפֵּלָה קַרְטֵזִית''' (ב[[אנגלית]]: Cartesian product; סימון: <math>\times</math>) של שתי [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצות]] היא קבוצה חדשה, שאבריה הם [[זוג סדור|הזוגות הסדורים]] שרכיביהם מגיעים משתי הקבוצות, בהתאמה. המכפלה נקראת כך על שמו של [[רנה דקארט]] (ששמו הלטיני הוא רנאטוס קרטזיוס) שהגדיר את ה[[מישור (גאומטריה)|מישור האוקלידי]] כקבוצת כל הזוגות הסדורים של [[מספר ממשי|מספרים ממשיים]] - ובכך יצר את תחום [[גאומטריה אנליטית|הגאומטריה האנליטית]].
במקרה הפרטי שבו יש שתי קבוצות, <math>A</math> ו-<math>B</math>, המכפלה הקרטזית שלהן מסומנת <math>A\times B</math> (קרי <math>A</math> כפול <math>B</math>) והיא קבוצת כל [[זוג סדור|הזוגות הסדורים]] האפשריים, כשבכל זוג האיבר הראשון שייך ל-<math>A</math> והאיבר השני שייך ל-<math>B</math>.
שורה 7:
לדוגמה: אם קבוצה <math>X</math> מכילה 13 איברים של ערכי קלפים { ''A'', ''K'', ''Q'', ''J'', 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 }
וקבוצה <math>Y</math> מכילה 4 איברים של סוג הקלף {♠, ♥, ♦, ♣}, אזי המכפלה הקרטזית של שתי הקבוצות היא קבוצת קלפי המשחק המוכרת לנו, בעלת 52 האיברים {{D}}{ (2, ♣), (3, ♣), ...
באותה הדרך, אם נסתכל על n קבוצות, המכפלה הקרטזית שלהן תיתן קבוצה של [[N-יה סדורה|n-יות]] המוגדרת כך:
<math>X_1\times X_2\times...\times X_N = \left\{(x_1,x_2,...,x_N) \ | \
בצורה פורמלית, נוכל להגדיר מכפלה קרטזית של כל משפחה (גם אינסופית) של קבוצות באמצעות קבוצת [[פונקציה|פונקציות]] שמוגדרת כך:
שורה 17:
<math>\prod_{n \in \Lambda} X_n = \{ f : \Lambda \to \bigcup_{n \in \Lambda} X_n\ \ | \ \forall n:f(n) \in X_n\}</math>. כאן <math>\Lambda</math> היא קבוצה של אינדקסים (דהיינו - לכל איבר בקבוצת האינדקסים מתאימה קבוצה אחת מתוך הקבוצות המוכפלות). האיברים של המכפלה הן פונקציות, כך שכל פונקציה מייצגת "נקודה" במכפלה. ה[[קואורדינטות]] של הנקודה הן בדיוק הערכים שמחזירה הפונקציה. הדרישה על הפונקציות הללו היא שלכל קואורדינטה, הפונקציה תחזיר ערכים השייכים רק לקבוצה שאותה מייצגת הקואורדינטה.
[[אקסיומת הבחירה]] היא הקביעה שאם <math>\Lambda</math> היא קבוצה של אינדקסים ולכל
<math>n \in \Lambda</math> הקבוצה <math>\ X_n</math> לא ריקה, אז המכפלה הקרטזית
<math>\prod_{n \in \Lambda} X_n</math> לא ריקה.
שורה 25:
:כל [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] במרחב זה הוא n-יה סדורה <math>(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>. על פי ההגדרה הפורמלית שניתנה לעיל, כל וקטור הוא פונקציה <math>f:\Lambda\to\mathbb{R}</math> כאשר <math>\Lambda=\left\{1,2,\dots,n \right\}</math>. עבור נקודה כלשהי <math>(x_1,x_2,\dots,x_n)</math> במרחב, הפונקציה המתאימה לה היא זו המקיימת <math>f(k)=x_k</math>.
*נביט בקבוצות <math>X_n=\left\{1,\dots,n\right\}</math> כאשר <math>n\isin\mathbb{N}</math>. המכפלה <math>\prod_{n \in \mathbb{N}} X_n </math> היא קבוצת הפונקציות <math>f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}</math> המקיימות <math>\forall n\isin\mathbb{N}:f(n)\le n</math>.
;הקבוצה הריקה:
נניח: <math>A = \{1,2\}\
<math>A \times B =
<math>B \times
</math>
| |||