בעיית שטיינר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הרחבה |
לפי דף השיחה, תודה ל-Harel |
||
שורה 1:
[[קובץ:Mplwp Steiners problem.svg|300px|ממוזער|שמאל]]
'''בעיית שטיינר''' היא בעיה שהציג ה[[גאומטריה|גאומטרן]] ה[[שווייצרי]] [[יאקוב שטיינר]] ב-[[1850]], ב[[ירחון]] ה[[מדע]]י של August Leopold Crelle.
:"אם מחלקים מספר נתון כלשהו לשני חלקים, ידוע ש[[מכפלה|מכפלתם]] תהיה הגדולה ביותר אם החלקים יהיו שווי גודל. עקרון זה נשמר כאשר מחלקים מספר כלשהו a ל-3, 4, 5 ... n חלקים. כיוון שהמכפלות המתקבלות במקרים השונים האלה הן שונות בגודלן, נשאלת איפוא השאלה, '''לכמה חלקים שווי גודל, או באופן כללי לכמה חלקים בכלל יש לחלק מספר כלשהו a, כך שמכפלתם של החלקים תהיה הגדולה ביותר מכל המכפלות, דהיינו מקסימום של כל המקסימה?'''"
שטיינר שאל על "המכפלה המקסימלית של החלקים של מספר", כלומר, מהו הערך המקסימלי של המכפלה <math>\ a_1 \dots a_{n/m}</math>, כאשר <math>\ a_1,\dots,a_{n/m}</math> הם חלקים של מספר קבוע, n. לפי [[אי שוויון הממוצעים]], הערך המקסימלי מתקבל כאשר כל החלקים שווים זה לזה (ול-m), וערכו <math>\ m^{n/m} = (m^{1/m})^n</math>. מכאן עולה כי כדי למצוא את הערך המקסימלי (עבור n נתון) יש לבחור m כך ש- <math>\ \sqrt[m]{m}</math> יהיה מקסימלי. שטיינר מציין כי "קל למצוא" שה[[נקודת קיצון|מקסימום]] מתקבל כאשר m שווה ל[[℮ (קבוע מתמטי)|בסיס הלוגריתם הטבעי]] (ואכן, זהו תרגיל בסיסי ב[[חשבון אינפיניטסימלי]]).
במכתבו לירחון הוסיף שלכל מספר <math>\,c>1</math> קיים בן-זוג יחיד <math>\,d>1</math>, שעבורו <math>\ \sqrt[c]{c}=\sqrt[d]{d}</math> (במספרים שלמים יש למשוואה זו פתרון יחיד: <math>\ \sqrt[2]{2}=\sqrt[4]{4}</math>).
| |||