סדרה מדויקת – הבדלי גרסאות

 

==הגדרה==

נניח שנתונה סדרה ([[סופית]] או [[אינסוף|אינסופית]]) של חבורות <math>G_i</math> ביחד עם אוסף של [[הומומורפיזם|הומומורפיזמים]] של חבורות <math>f_i : G_i \rightarrow G_{i+1}</math>.

 

==דוגמה==

 

כאשר ההעתקה מ <math>\mathbb{Z}</math> ל <math>\mathbb{Z}</math> היא הכפלה ב2 וההעתקה מ <math>\mathbb{Z}</math> ל <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> היא העתקת המנה.

 

 

<math>0 \rightarrow H \rightarrow G \rightarrow N \rightarrow 0</math>

עקב הימצאותה של החבורה הטריוויאלית בתחילת הסדרה, נשים לב שהגרעין של ההעתקה מ-H ל-G הוא טריוויאלי, ולכן זהו שיכון. כמו כן, מהימצאותה של החבורה הטריוויאלית בסוף הסדרה, תמונת ההעתקה מ-G ל-N שווה לגרעין של ההעתקה הטריוויאלית מ-N לחבורה הטריוויאלית, ולפיכך ההעתקה מ-G ל-N היא על.

לבסוף, נשים לב שהתמונה של H ב-G שווה לגרעין של ההעתקה מ-G ל-N. לפיכך, אם נזהה את H עם תמונתה בתוך G, הרי שמ[[משפטי האיזומורפיזם (אלגברה)|משפט האיזומורפיזם]] נקבל איזומורפיזם <math>G/H \cong N</math>