מודול שטוח – הבדלי גרסאות

[[מרחב וקטורי|מרחבים וקטורים]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] הם מודולים שטוחים. באופן כללי יותר, [[מודול חופשי|מודולים חופשיים]], ואף [[מודול פרויקטיבי|מודולים פרויקטיבים]] הם מודולים שטוחים. מאידך, כל מודול שטוח הוא חסר פיתול. חוג הוא [[חוג פון-נוימן רגולרי|פון-נוימן רגולרי]] אם ורק אם כל המודולים מעליו שטוחים (משפט Harada-Auslander), ו[[חוג מושלם|מושלם]] {{אנ|Perfect ring}} אם ורק אם כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי.

 

 

== מבוא והגדרה ==

 

התהליך הזה עלול להיות הרסני: למשל, מעל חוג השלמים <math>\mathbb{Z}</math>, אם <math>M = \mathbb{Z}/a\mathbb{Z}</math>, אז המכפלה <math>M \otimes N</math> שווה למודול המנה <math>N / a N</math>. אם נתבונן בהכלה <math>N = \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} = N'</math>, נגלה שהמנה <math>N/aN</math> היא חבורה בת <math>a</math> איברים, בעוד שהמנה <math>N'/aN'</math> שווה לאפס, כך שאין הכלה <math>M \otimes N \subseteq M \otimes N'</math>. היכולת הזו להרוס הכלות משתקפת במבנה של המודול <math>M</math>, ובמקרה זה היא באה לידי ביטוי בכך שהוא [[פיתול (אלגברה)|מפותל]]. במקרים אחרים (למשל, אם <math>M</math> [[מודול חופשי|חופשי]]) מובטח שהמכפלה הטנזורית ב-<math>M</math> תשמור על הכלה. בגלל חשיבותה של התכונה הזו, הציע סר מונח מיוחד למודולים <math>M</math> שעבורם

 

=== תכונות יסודיות ===

כדי שהמודול <math>M</math> יהיה שטוח מעל <math>R</math>, די בכך שההעתקה <math>M \otimes_R N \rightarrow M \otimes_R N'</math> היא שיכון לכל <math>N \subseteq N'</math> שהם אידיאלים שמאליים נוצרים סופית של <math>R</math>. כל תת-המודולים של <math>M</math> הם שטוחים אם ורק אם כל תת-המודולים הנוצרים סופית הם שטוחים.

 

===הגדרה קטגורית ===

יהי ''<math>R</math>'' [[חוג קומוטטיבי]], ויהי ''<math>M</math>'' מודול מעל ''<math>R</math>''. נגדיר [[פונקטור]] מה[[קטגוריה (מתמטיקה)|קטגוריה]] של מודולים מעל ''<math>R</math>'' לעצמה על ידי <math>F(N) = M \otimes_R N</math>.

 

 

=== מתי כל המודולים שטוחים ===

חוג <math>R</math> הוא [[חוג רגולרי פון-נוימן|רגולרי פון-נוימן]] אם ורק אם כל מודול שמאלי או ימני הוא שטוח, אם ורק אם לכל <math>a</math>, המודול <math>R/Ra</math> הוא שטוח.

 

 

==הקשר לפרויקטיביות==

[[קובץ:Flat modules2.jpeg|שמאל|ממוזער|360px|מחלקות של מודולים. חץ כחול מתאר מחלקה של חוגים (למשל חוג הוא [[חוג מושלם|מושלם]] אם ורק אם כל מודול שטוח הוא פרויקטיבי); חץ מקווקו מתקיים מעל המחלקה הנתונה (למשל מעל [[חוג מושלם למחצה]], כל מודול שטוח נוצר סופית הוא פרויקטיבי)]]

כל סכום ישר של מודולים שטוחים הוא שטוח, וכל מחובר ישר במודול שטוח הוא שטוח בעצמו.

 

 

מודול שיש לו כיסוי פרויקטיבי (היינו, הוא מנה של מודול פרויקטיבי ביחס לגרעין [[תת-מודול קטן|קטן]]) הוא שטוח אם ורק אם הוא פרויקטיבי בעצמו. כל המודולים השטוחים מעל חוג הם פרויקטיביים, אם ורק אם החוג [[חוג מושלם|מושלם]] (מחלקה זו כוללת כל תת-חוג (עם יחידה) של [[חוג פשוט למחצה]], וכל [[חוג מקומי למחצה|מקומי למחצה]] ''<math>R</math>'' עם הרמת [[אידמפוטנט]]ים מ-<math>R/J(R)</math>).

 

=== אינג'קטיביות ===

המודול ''<math>M</math>'' מעל ''<math>R</math>'' הוא שטוח אם ורק אם <math>\operatorname{Hom}_{\Z}(M,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})</math> [[מודול אינג'קטיבי|אינג'קטיבי]] מעל ''<math>R</math>''. כל מודול שמאלי שטוח הוא אינג'קטיבי אם ורק אם כל מודול ימני שטוח הוא אינג'קטיבי, אם ורק אם החוג [[חוג ארטיני|ארטיני]] ואינג'קטיבי.

 

== הקשר לפיתול ==

כל מודול שטוח הוא [[מודול חסר פיתול|חסר פיתול]].

 

 

==מיקום, גבולות, מכפלות ישרות, פולינומים ==

מעל חוגים נתריים שטיחות היא תכונה מקומית, כלומר מודול ''<math>M</math>'' מעל חוג חילופי ''<math>R</math>'' הוא שטוח אם ורק אם לכל [[אידיאל ראשוני]] <math>p \in Spec R</math>, ה[[לוקליזציה (תורת החוגים)|מיקום]] <math>M_p</math> שטוח מעל <math>R_p</math>.

 

 

==רזולוציות שטוחות ומכפלה טנזורית נגזרת==

בהינתן מודול ''<math>M</math>'', רזולוציה שטוחה שלו היא קומפלקס מדויק ''<math>P</math>'' אשר מורכב ממודולים שטוחים, המרוכז בדרגות שליליות, ביחד עם קוואזיאיזומורפיזם <math>P \to M</math>.

 

 

==קומפלקסים K-שטוחים==

ניתן להכליל את מושג המודול השטוח למקרה של קומפלקס שאינו חסום. לכל זוג קומפלקסים ''<math>M</math>'' ו-''<math>N</math>'' מעל חוג ''<math>R</math>'', מוגדרת המכפלה הטנזורית <math>M \otimes_R N</math>. אם הפונקטור <math>F(N) = M \otimes_R N</math> הוא מדויק, אומרים כי ''<math>M</math>'' הוא קומפלקס ''<math>K</math>''-שטוח. אם ''<math>M</math>'' קומפלקס חסום מלמעלה אז הוא ''<math>K</math>''-שטוח אם ורק אם כל אחד מהמודולים המרכיבים אותו הוא שטוח. באופן כללי, אם ''<math>M</math>'' קומפלקס ''<math>K</math>''-שטוח כלשהו אז הוא קוואזי-איזומורפי לקומפלקס שכל המודולים המרכיבים אותו הם שטוחים, אך ההפך אינו נכון באופן כללי, כלומר ייתכן שקומפלקס שאינו חסום מלמעלה יהיה מורכב ממודולים שטוחים, אך הקומפלקס לא יהיה ''<math>K</math>''-שטוח.

 

 

==העתקות שטוחות==

* [[הומומורפיזם (אלגברה)|הומומורפיזם]] של חוגים <math>f:R \to S</math> נקרא שטוח אם הוא הופך את ''<math>S</math>'' ל[[מודול חופשי]] מעל ''<math>R</math>''. [[אלכסנדר גרותנדיק|גרותנדיק]] הוכיח שכל [[העתקה חלקה פורמלית]] בין חוגים נתריים היא שטוחה. בפרט, כל העתקה אטל-פורמלית (Formally étale) ([[העתקת כיסוי]] אלגברית) היא שטוחה.

* בפרט, [[לוקליזציה (תורת החוגים)|לוקליזציה]] ו[[השלמה (תורת החוגים)|השלמה]] הן העתקות שטוחות.