מבחני התחלקות – הבדלי גרסאות

הוסרו 66 בתים ,  לפני שנתיים
הסרת קישורים עודפים, החלפה (מפני ש)
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ שוחזר מעריכות של 147.236.153.46 (שיחה) לעריכה האחרונה של 2A02:ED0:536E:9B00:7C06:32D0:1C77:E0E9
הסרת קישורים עודפים, החלפה (מפני ש)
שורה 5:
*כל [[מספר טבעי]] מתחלק ב-[[1 (מספר)|1]].
*מספר מתחלק ב-[[2 (מספר)|2]] ([[#2|ראו הסבר מורחב]]) (נקרא גם [[מספר זוגי]]) [[אם ורק אם]] [[ספרה|ספרת]] האחדות שלו זוגית.
*מספר מתחלק ב-[[3 (מספר)|3]] ([[#3|ראו הסבר מורחב]]) [[אם ורק אם]] סכום ספרותיו מתחלק ב-3 (למשל: 1962 מתחלק ב-3 כי סכום ספרותיו הוא 18).
*מספר מתחלק ב-[[4 (מספר)|4]] ([[#4|ראו הסבר מורחב]]) [[אם ורק אם]] המספר שיוצרות שתי ספרותיו הימניות מתחלק ב-4 (ספרת העשרות זוגית וספרת האחדות מתחלקת בארבע או ספרת העשרות אי זוגית וספרת האחדות זוגית אך אינה מתחלקת ב-4).
*מספר מתחלק ב-[[5 (מספר)|5]] ([[#5|ראו הסבר מורחב]]) [[אם ורק אם]] ספרת האחדות שלו מתחלקת ב-5 (כלומר, היא 0 או 5).
*מספר מתחלק ב-6 אם ורק אם הוא מתחלק ב-2 וב-3.
*מספר מתחלק ב-[[7 (מספר)|7]] ([[#7|ראו הסבר מורחב]]) [[אם ורק אם]] לאחר שמחסרים מהמספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשתיים, מקבלים מספר שמתחלק ב-7. למשל, 224 מתחלק ב-7 כיוון ש-<math> \ 22- 2 \cdot 4 = 14 </math>. מובן שאם עדיין מתקבל מספר שאיננו יודעים אם הוא מתחלק ב-7, ניתן לחזור על התהליך שוב.
**מבחן נוסף, מספר מתחלק ב-7 [[אם ורק אם]] ההפרש שיוצרות שלוש הספרות האחרונות מהמספר שיוצרות שאר הספרות מתחלק ב-7. לדוגמה המספר 948024 מתחלק ב-7 משום <math>948-024=924</math> וכאמור 924 מתחלק ב-7.
*מספר מתחלק ב-[[8 (מספר)|8]] ([[#8|ראו הסבר מורחב]]) [[אם ורק אם]] המספר שיוצרות שלוש ספרותיו הימניות מתחלק ב-8.
*מספר מתחלק ב-[[9 (מספר)|9]] ([[#9|ראו הסבר מורחב]]) [[אם ורק אם]] סכום ספרותיו מתחלק ב-9.
*מספר מתחלק ב-[[10 (מספר)|10]] [[אם ורק אם]] ספרת האחדות שלו היא 0.
*מספר מתחלק ב-[[11 (מספר)|11]] ([[#11|ראו הסבר מורחב]]) [[אם ורק אם]] לאחר שמחסרים ומחברים לסירוגין את ספרותיו מתקבל מספר שמתחלק ב-11. למשל, 924 מתחלק ב-11 שכן <math>\ 9-2+4=11</math>.
**מבחן נוסף, מספר מתחלק ב-[[11 (מספר)|11]] [[אם ורק אם]] ההפרש שיוצרות שלוש הספרות האחרונות מהמספר שיוצרות שאר הספרות מתחלק ב-11. לדוגמה המספר 948024 מתחלק ב-11 משום <math>948-024=924</math> וכאמור 924 מתחלק ב-11.
*מספר מתחלק ב-[[12 (מספר)|12]] [[אם ורק אם]] הוא מתחלק ב-3 וגם ב-4.
*מספר מתחלק ב-[[13 (מספר)|13]] ([[#13|ראו הסבר מורחב]]) [[אם ורק אם]] כשמוסיפים למספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת ב-4, מתקבל מספר המתחלק ב-13. מובן שאם עדיין מתקבל מספר שאין אנו יודעים אם הוא מתחלק ב-13, ניתן לחזור על התהליך שוב. למשל, <math>\ 234</math> מתחלק ב-13 כי <math> 23+4\cdot 4 = 39=3\cdot 13</math>.
**מבחן נוסף, מספר מתחלק ב-13 [[אם ורק אם]] ההפרש שיוצרות שלוש הספרות האחרונות מהמספר שיוצרות שאר הספרות מתחלק ב-13. לדוגמה המספר 948012 מתחלק ב-13 משום <math>948-012=936</math> וכאמור 936 מתחלק ב-13.
*מספר מתחלק ב-[[16 (מספר)|16]] [[אם ורק אם]] המספר שיוצרות ארבע ספרותיו הימניות מתחלק ב-16.
*מספר מתחלק ב-[[17 (מספר)|17]] [[אם ורק אם]] לאחר שמורידים חמש פעמים את הספרה האחרונה ממה שנשאר מקבלים מספר שמתחלק ב-17. למשל, 221 מתחלק ב-17 מפני ש-221: 22 − 1 × 5 = 17.
*מספר מתחלק ב-[[19 (מספר)|19]] [[אם ורק אם]] לאחר שמוסיפים למספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשתיים, מקבלים מספר שמתחלק ב-19. למשל, 209 מתחלק ב-19 כיוון ש-<math> \ 20+ 2\cdot 9 = 38 </math>. מובן שאם עדיין מתקבל מספר שאיננו יודעים אם הוא מתחלק ב-19, ניתן לחזור על התהליך שוב.
* מספר מתחלק ב-[[23 (מספר)|23]] [[אם ורק אם]] לאחר שמוסיפים למספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשבע, מתקבל מספר שמתחלק ב-23. למשל, 414 מתחלק ב-23 כיוון ש- <math>41+7\cdot 4=69</math>, 69 מתחלק ב-23.
*מספר מתחלק ב-[[25 (מספר)|25]] [[אם ורק אם]] המספר שיוצרות שתי ספרותיו הימניות מתחלק ב-25
*מספר מתחלק ב-[[27 (מספר)|27]] [[אם ורק אם]] לאחר שמורידים 8 פעמים את הספרה האחרונה ממה שנשאר מקבלים מספר שמתחלק ב-27. למשל, 621 מתחלק ב-27 בגללמפני ש: 621: 62 − (1×8) = 54.
*מספר מתחלק ב-[[29 (מספר)|29]] [[ אם ורק אם]] הוספת 3 פעמים הספרה האחרונה למספר שמתקבל מהורדת הספרה האחרונה מתחלק ב-29 למשל 319 מתחלק ב-29
<math>31+3\cdot 9=58</math>
*מספר מתחלק ב-[[31 (מספר)|31]] [[ אם ורק אם]] הורדת 3 פעמים הספרה האחרונה למספר שמתקבל מהורדת הספרה האחרונה מתחלק ב-31 למשל 341 מתחלק ב-31
<math>34-3\cdot 1=31</math>
*מספר מתחלק ב-[[32 (מספר)|32]] [[ אם ורק אם]] לאחר שמוסיפים 4 פעמים את שתי הספרות הראשונות לשאר. למשל, 1312 מתחלק ב-32 בגללמפני ש: 1,312: (13×4) + 12 = 64.
*מספר מתחלק ב-[[37 (מספר)|37]] [[אם ורק אם]] לאחר שמורידים 11 פעמים את הספרה האחרונה ממה שנשאר מקבלים מספר שמתחלק ב-37.
 
*מספר מתחלק ב-[[100 (מספר)|100]] (או בכל גורם שלו) אם הוא נגמר בשני אפסים (00), ב-[[1000 (מספר)|1000]] אם הוא נגמר בשלושה אפסים (000) וכך הלאה.
מספרים שאינם חזקות של מספרים אחרים או ראשוניים, פרט ל-10, לא מופיעים ברשימה וסימן התחלקותם הוא כדלקמן: אם המחולק מתחלק בכל הגורמים הראשוניים של המחלק, המחולק מתחלק גם במחלק. למשל, סימן ההתחלקות של-6 הוא התחלקות בשני גורמיו הראשוניים: 3,2.
שורה 43 ⟵ 42:
 
==[[2 (מספר)|2]]==
מספר [[חלוקה בשתיים|מתחלק ב-2]] [[אם ורק אם]] [[ספרה|ספרת]] האחדות שלו מתחלקת ב-2. במילים אחרות, מספר הוא זוגי, אם ורק אם [[ספרה|ספרת]] האחדות שלו היא זוגית. לדוגמה, המספרים 8, 72 ו-9746 הם זוגיים, והמספרים 3, 79 ו-957 הם אי-זוגיים.
 
{{ניווט|הסתרה=כן|מוסתר=כן|יישור טקסט=ימין|כותרת=הסבר|תוכן=
שורה 58 ⟵ 57:
 
{{ניווט|הסתרה=כן|מוסתר=כן|יישור טקסט=ימין|כותרת=הסבר|תוכן=
ניתן להבין את החוק מהסתכלות על הייצוג של מספרים ב[[השיטה העשרונית|שיטה העשרונית]].
נשים לב לתכונה מעניינת - כל [[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] של [[10 (מספר)|10]] נותנת [[שארית (חילוק)|שארית]] 1 בחלוקה ב-3. לדוגמה:
 
שורה 67 ⟵ 66:
וכן הלאה. ניקח את לדוגמה את המספר 7,581. הכוונה היא בעצם ל
 
<math> \ 7,581= 7 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 1 \cdot 1 </math>.
 
ונשתמש בעובדה שציינו קודם, כדי לכתוב זאת מחדש:
שורה 84 ⟵ 83:
==[[4 (מספר)|4]]==
 
מספר מתחלק ב-4 [[אם ורק אם]] הסכום הנוצר מספרת העשרות שלו מוכפלת בשתיים ועוד ספרת האחדות - מתחלק ב-4. לדוגמה, המספר 1,832 מתחלק ב-4 כי 32 מתחלק ב-4 (3X2 + 2 = 8). המספר 98,214 לא מתחלק ב-4, כי 14 לא מתחלק ב-4&nbsp;(1X2 + 4 = 6).
 
{{ניווט|הסתרה=כן|מוסתר=כן|יישור טקסט=ימין|כותרת=הסבר|תוכן=
שורה 104 ⟵ 103:
מספר מתחלק בשבע [[אם ורק אם]] לאחר שמחברים את המספר ללא ספרת האחדות לספרת האחדות מוכפלת בחמש, מקבלים מספר שמתחלק ב-7. למשל, 224 מתחלק ב-7 כיוון ש-<math>22+4*5=42</math>.
 
מספר מתחלק בשבע [[אם ורק אם]] לאחר שמחסרים מהמספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשתיים, מקבלים מספר שמתחלק ב-7. למשל, 224 מתחלק ב-7 כיוון ש-<math> \ 22- 4*2 = 14 </math>.
{{ניווט|הסתרה=כן|מוסתר=כן|יישור טקסט=ימין|כותרת=הסבר|תוכן=
נסמן את ספרת האחדות ב-<math>\ a</math>, ואת שאר המספר ב-<math> \ b</math>. בדוגמה הנתונה למשל (224), <math> \ b=22, a=4 </math>.
 
המספר שאנו בוחנים הוא <math> \ 10b+a</math>. מבחן החלוקה אומר למעשה ש-<math> \ b-2a </math> מתחלק ב-7 אם ורק אם <math> \ 10b +a </math> מתחלק גם כן ב-7. קל להראות זאת, כי <math> \ b-2a </math> מתחלק ב-7 אם ורק אם <math> \ 10 \cdot (b-2a)</math> מתחלק ב-7, וכשנפתח את הסוגריים נגלה ש[[ביטוי (מתמטיקה)|ביטוי]] זה שווה ל<math> \ 10 b-20 a</math>. כדי להגיע למספר המבוקש, שהוא <math> \ 10b+a</math>, עלינו להוסיף בדיוק as<math> \ 21 a</math>. הוספנו ביטוי המתחלק ב-7 לביטוי אחר המתחלק ב-7, ולכן סכומם מתחלק ב-7 בוודאות. במילים אחרות, אם <math> \ 10 b-20 a</math> מתחלק ב-7 אז בהכרח <math> \ 10b+a</math> מתחלק ב-7, ובכך הוכחנו למעשה את תקפות הסימן.
שורה 138 ⟵ 137:
<math> 2,064 = 2,000 + 64 = 2 \cdot 1,000 + 64 </math>.
 
נפרק את 1,000 למכפלה
 
<math> 2,064 = 2 \cdot (125 \cdot 8) + 64 </math>.
שורה 195 ⟵ 194:
<math> \ 10,000,000= 10,000,001 -1 =11 \cdot 909,091 -1 </math>
 
וכן הלאה. לכן, בחישוב שארית בייצוג של מספר בשיטה העשרונית, הספרות במקומות הזוגיים תורמות שארית 1, והספרות במקומות האי זוגיים תורמות שארית 1-. התנאי הוא שהסכום של שניהם יתחלק ב-11.
 
}}
שורה 209 ⟵ 208:
| תוכן = ההסבר דומה מאוד להסבר של סימן החלוקה של 7.
 
נסמן את ספרת האחדות ב-<math>\ a</math>, ואת שאר המספר ב-<math> \ b</math>. בדוגמה הנתונה למשל (234), <math> \ b=23, a=4 </math>.
 
המספר שאנו בוחנים הוא <math> \ 10b+a</math>. מבחן החלוקה אומר למעשה ש-<math> \ b+4a </math> מתחלק ב-13 אם ורק אם <math> \ 10b +a </math> מתחלק גם כן ב-13. קל להראות זאת, כי <math> \ b+4a </math> מתחלק ב-13 אם ורק אם <math> \ 10 \cdot (b+4a)</math> מתחלק ב-13, וכשנפתח את הסוגריים נגלה שביטוי זה שווה ל-<math> \ 10 b+40 a</math>. כדי להגיע למספר המבוקש, שהוא <math> \ 10b+a</math>, עלינו להוסיף בדיוק <math> \ 39 a</math>. הוספנו ביטוי המתחלק ב-13 לביטוי אחר המתחלק ב-13, ולכן סכומם מתחלק ב-13 בוודאות. במילים אחרות, אם <math> \ 10 b+40 a</math> מתחלק ב-13 אז בהכרח <math> \ 10b+a</math> מתחלק ב-13, ובכך הוכחנו למעשה את תקפות הסימן.
שורה 227 ⟵ 226:
 
{{ניווט|הסתרה=כן|מוסתר=כן|יישור טקסט=ימין|כותרת=הסבר|תוכן=
נסמן את ספרת האחדות ב-<math>\ a</math>, ואת שאר המספר ב-<math> \ b</math>. בדוגמה הנתונה למשל (5149), <math> \ b=514, a=9 </math>.
 
המספר שאנו בוחנים הוא <math> \ 10b+a</math>. מבחן החלוקה אומר למעשה ש-<math> \ b+2a </math> מתחלק ב-19 אם ורק אם <math> \ 10b +a </math> מתחלק גם כן ב-19. קל להראות זאת, כי <math> \ b+2a </math> מתחלק ב-19 אם ורק אם <math> \ 10 \times (b+2a)</math> מתחלק ב-19, וכשנפתח את הסוגריים נגלה ש[[ביטוי (מתמטיקה)|ביטוי]] זה שווה ל<math> \ 10 b+20 a</math>. כדי להגיע למספר המבוקש, שהוא <math> \ 10b+a</math>, עלינו להוסיף בדיוק <math> \ 19 a</math>. הוספנו ביטוי המתחלק ב-19 לביטוי אחר המתחלק ב-19, ולכן סכומם מתחלק ב-19 בוודאות. במילים אחרות, אם <math> \ 10 b+20 a</math> מתחלק ב-19 אז בהכרח <math> \ 10b+a</math> מתחלק ב-19, ובכך הוכחנו למעשה את תקפות הסימן.