הפרדוקס של בנך-טרסקי – הבדלי גרסאות

כבר עמדנו על כך, שכל פונקציית שטח "סבירה" צריכה לכבד חפיפה-בחלקים, כלומר - שלקבוצות חופפות-בחלקים יהיה אותו שטח. באמצעות פרדוקס דומה, האוסדורף ביקש להראות שלא ניתן להגדיר פונקציית שטח "סבירה" שכזו על כל תת-הקבוצות של ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] הדו-ממדית (אף על פי שעל הקבוצות הדו-ממדיות '''במישור''' כן ניתן לעשות זאת). ב-1914 מצא האוסדורף ב[[חבורת המטריצות האורתוגונליות]] <math>\operatorname{SO}_3(\mathbb{R})</math> תת-חבורה שהיא [[מכפלה חופשית]] <math>\mathbb{Z}_2 * \mathbb{Z}_3</math> ולכן פועלת [[פעולה פרדוקסלית]] על הספירה (לאחר סילוק [[קבוצה בת מנייה|קבוצה בת-מניה]]).