סכום ישר – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה של הפסקאות הראשונות |
קישורים, מתמטיקה ומחיקת כפילויות |
||
שורה 1:
[[מתמטיקה|במתמטיקה]], '''סכום ישר''' היא הרכבה של שני אובייקטים או יותר, שתוצאתה אובייקט גדול יותר מאותו סוג. הדוגמא החשובה ביותר היא בניה של [[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]] כמו [[מרחב וקטורי]] או [[מודול]], ואז הסכום הישר הוא המבנה הקטן ביותר שמכיל את כל המרכיבים ללא 'הפרעות' הדדיות (ראה דוגמאות בהמשך). בנוסף, מגדירים גם סכום ישר של [[מטריצה|מטריצות]] או [[
כאשר מחברים מספר סופי של מבנים, הסכום הישר שווה ל[[מכפלה ישרה|מכפלה הישרה]]. לעומת זאת, כאשר מטפלים במספר מבנים אינסופי, הסכום הישר מוכל במכפלה הישרה, והוא כולל רק את הוקטורים שכמעט כל אבריהם אפס.
שורה 5:
==הגדרה קטגורית==
ב[[תורת הקטגוריות]], המכפלה הישרה של אובייקטים <math>\ A_i</math> בקטגוריה, היא אובייקט <math>\ B=\prod A_i</math>, עם [[מורפיזם|מורפיזמים]] <math>\ \pi_i {:} B\rightarrow A_i</math>, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט <math>\ C</math> בקטגוריה עם מורפיזמים <math>\ f_i{:}C\rightarrow A_i</math>, קיים מורפיזם יחיד <math>\ f{:}C \rightarrow B</math> כך ש- <math>\ f_i = \pi_i f</math>.
הסכום הישר מוגדר באופן דואלי: הסכום הישר של האובייקטים <math>\ A_i</math>, הוא אובייקט <math>\ B=\coprod A_i</math>, עם מורפיזמים <math>\ \iota_i {:} A_i \rightarrow B</math>, המקיימים את התכונה הבאה: לכל אובייקט <math>\ C</math> בקטגוריה עם מורפיזמים <math>\ f_i{:}A_i\rightarrow C</math>, קיים מורפיזם יחיד <math>\ f{:}B \rightarrow C</math> כך ש- <math>\ f_i = f \iota_i</math>. אם הסכום הישר קיים בקטגוריה, אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
==דוגמא==
אם <math>\ V</math> הוא [[מרחב וקטורי]] ואפשר להציג כל וקטור של <math>\ V</math> כסכום של וקטור מ- <math>\ U</math> ועוד וקטור מ- <math>\ W</math>, אז אומרים ש- <math>\ V</math> הוא '''סכום''' של <math>\ U</math> ושל <math>\ W</math>, וכותבים <math>\ V=U+W</math>. אם הצגה כזו היא תמיד יחידה, אז הסכום הוא '''סכום ישר''', אותו מסמנים ב- <math>\ V=U\oplus W</math> (תנאי שקול לזה: <math>\ V=U+W</math> כאשר אין ל- U ול- W וקטורים משותפים). זוהי ההגדרה של סכום ישר כפעולה '''פנימית''', בין שני תת-מרחבים של אותו מרחב נתון V.
אפשר להגדיר סכום ישר גם באופן חיצוני, כאובייקט חדש. נניח ש- <math>\ V</math> ו- <math>\ W</math> הם [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]] מעל אותו [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\ F</math>. '''הסכום הישר''' שלהם הוא מרחב וקטורי שאותו מסמנים ב- <math>\ V\oplus W</math>; כקבוצה, המרחב החדש שווה [[מכפלה קרטזית|למכפלה הקרטזית]] <math>\ V\times W</math>, כלומר הוא מורכב מכל ה[[זוג סדור|זוגות הסדורים]] <math>\ (v,w)</math> (כאשר <math>\ v\in V, w\in W</math>). החיבור והכפל בסקלר מוגדרים לפי רכיבים: <math>\ (v_1,w_1)+(v_2,w_2)=(v_1+v_2,w_1+w_2)</math>, ו- <math>\ \alpha(v,w)=(\alpha v,\alpha w)</math>. התוצאה היא מרחב וקטורי ש[[ממד|ממדו]] הוא סכום הממדים של
אפשר לזהות (עד כדי [[איזומורפיזם (מתמטיקה)|איזומורפיזם]]) את <math>\ V</math> עם תת-המרחב <math>\ V\cong V\oplus 0=\{(v,0)\}</math> ואת <math>\ W</math> עם תת-המרחב <math>\ W\cong 0\oplus W=\{(0,w)\}</math>; כך הסכום הישר (שהוא בניה 'חיצונית', חדשה) ניתן לתאור בתור סכום ישר פנימי של תת-מרחבים וקטוריים: <math>\ V\oplus W = (V\oplus 0)\oplus(0\oplus W)</math>.
== דוגמא מפורשת ==
נסביר ונדגים במפורש למה אנחנו מתכוונים בסכום על ישר על מקרה יחסית פשוט.
שורה 42 ⟵ 44:
:<math>\ r(m\oplus n) \equiv (r m)\oplus (r n) </math>
מתוך ההגדרה מובן שהפעולה הזו היא [[אסוציאטיבי|אסוציאטיבית]] [[חילופיות|
===סכום ישר של שני מודולים ימניים===
שורה 51 ⟵ 53:
כזכור, חוג הוא מודול מעל עצמו. לכן אפשר לעשות סכום ישר של החוג <math>\ R</math> עם עצמו <math>\ R\oplus R</math> ואפשר לעשות זאת עוד <math>\ n</math> פעמים <math>\ R^n \equiv \bigoplus_{i=1}^n R</math>. אם ניקח [[מודול (מבנה אלגברי)#מודול חופשי|מודול חופשי]] <math>\ M</math> מדרגה <math>\ n</math>, כזה שאפשר לכתוב בו כל איבר <math>\ m\in M</math> בצורה יחידה כ<math>\ m=r_1e_1 + r_2 e_2 +... +r_n e_n</math> אז נוכל להגדיר את הפונקציה <math>\ f: M \mapsto R^n</math> על ידי <math>\ f(r_1e_1 + r_2 e_2 +... +r_ne_n) = (r_1,r_2,...,r_n)</math>. קל להיווכח שבמידה והמודול מעל חוג חלופי הפנקציה <math>\ f</math> היא [[איזומורפיזם (מתמטיקה)#איזומורפיזם בין מודולים|איזומורפיזם]], ולכן <math>\ M \cong R^n</math>.
===סכום ישר של [[מרחב מכפלה פנימית|מרחבי מכפלה פנימית]]===
שורה 74:
אפשר לראות שמדובר באלגברה חדשה מעל <math>\ R</math> משום שכל תנאי הבילינאריות נשמרים.
==ראו גם==
| |||