|
'''משפט קיילי-המילטון''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[אלגברה לינארית]] הקרוי על שמם של ה[[מתמטיקאי|מתמטיקאים]] [[ארתור קיילי]] ו[[ויליאם המילטון]]; הראשון שהוכיח אותו הוא [[פרדיננד גאורג פרובניוס]].
ב[[אלגברה לינארית]], '''משפט קיילי-המילטון''' (הקרוי על שמם של המתמטיקאים [[ארתוק קיילי]] ו[[וויליאם המילטון]]), מבטיח כי כל [[אנדומורפיזם]] ([[הומומורפיזם]] לתוך המרחב) מ[[מרחב וקטורי]] סוף מימדי (נוצר סופית) מעל [[שדה (מתמטיקה)|שדה]] כלשהו מאפס את [[פולינום אופייני|פולינומו האופייני]].
נוסח המשפט הוא: תהי <math>\ A </math> [[מטריצה ריבועית]] <math>n \times n</math>,
בשפת המטריצות:
ויהי <math>f(\lambda) = \left| \lambda I - A \right| </math> ה[[פולינום אופייני|פולינום האופייני]] שלה -
אזי מתקיים <math>\ f(A) = 0 </math>, כלומר מטריצה מאפסת את הפולינום האופייני שלה.
המשפט תקף למטריצות מעל כל [[חוג קומוטטיבי]], ואחת ממסקנותיו היא שה[[פולינום מינימלי|פולינום המינימלי]] של מטריצה מחלק את ה[[פולינום אופייני|פולינום האופייני]] שלה.
אם A [[מטריצה ריבועית]] מסדר n, ואם
במאמר מ-[[1858]] הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל <math>\ 2\times 2</math>, והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל <math>\ 3\times 3</math>; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת ה[[קווטרניונים]]. את המקרה הכללי הוכיח פרובניוס, ב- [[1878]].
:<math>p(X)= \det(XI-A) = X^n + p_{n-1}X^{n-1} + \ldots + p_1 X + p_0</math>
הוא פולינומה האופייני,
אזי הצבת A בפולינום נותנת אפס:
:<math>p(A)= A^n + p_{n-1}A^{n-1} + \ldots + p_1 A + p_0 I_n = 0_n.\;</math>
== מקורות ==
משפט זה, תקף לא רק מעל ל[[שדה (מתמטיקה)|שדות]], כי אם מעל לכל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חילופיות|קומוטטיבי]].
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Matrices_and_determinants.html היסטוריה של מטריצות ודטרמיננטות]
תוצאה חשובה של משפט זה, היא כי [[פולינום מינימלי|הפולינום המינימלי]] של מטריצה מחלק את [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]]. זאת ועוד, לפולינום המינימלי ולפולינום האופייני אותם [[פולינום#שורש של פולינום|שורשים]].
==מוטיבציה==
בעת העבודה עם מטריצות, ברצוננו להציגן בצורה הפשוטה ביותר, היינו להציגן ב[[מטריצה אלכסונית|צורה אלכסונית]].
בתהליך ה[[מטריצה לכסינה|לכסון]] עלינו למצוא את [[ערך עצמי|הערכים העצמיים]] של המטריצה.
כידוע, מציאת הערכים העצמיים של מטריצה שקולה למציאת השורשים של פולינומה האופייני של המטריצה.
אם-כן, בעיית הלכסון שקולה לבעיית מציאת השורשים של הפולינום האופייני. כאמור, לפי משפט זה, לפולינום המינמלי אותם שורשים כמו לפולינום האופייני.
הווה אומר, כמסקנה ממשפט זה ומתוצאותיו, '''בעיית הלכסון, שקולה למציאת שורשי הפולינום המינמלי''' ומכאן חשיבות המשפט.
==הוכחה==
הוכחת המשפט היא די פשוטה ומסתמכת על שתי טענות עזר.
טענת עזר ראשונה היא הזהות:
<math>\mathbf{A}\, \mathrm{adj}(\mathbf{A}) = \mathrm{adj}(\mathbf{A})\, \mathbf{A} = \det(\mathbf{A})\, \mathbf{I}\qquad (*)</math>
כאשר <math>\mathbf{I}</math> היא [[מטריצת היחידה]] מסדר <math>\! n </math>.
{{בעבודה}}
*'''!אין להתייחס להמשך!'''
טענת עזר שניה היא: קיימת התאמה טבעית בין חוג הפולינומים שמקדמיהם מטריצות לבין חוג המטריצות שאבריהן פולינומים. התאמה זו מהווה איזומורפיזם בין שני חוגים אלו.
<math>: M_n(F)[x] \cong M_n(F[x]) (**)</math>
==דוגמא==
[[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
[[en:Cayley–Hamilton theorem]] ▼[[bs:Cayley-Hamiltonov teorem]]
[[ca:Teorema de Cayley-Hamilton]]
[[de:Satz von Cayley-Hamilton]]
[[es:Teorema de Cayley-Hamilton]]
▲[[en:Cayley–Hamilton theorem]]
[[fr:Théorème de Cayley-Hamilton]]
[[hr:Cayley-Hamiltonov teorem]]
| 