|
[[תמונה:Compfun.png|250px|שמאל|ממוזער|''g'' <small>o</small> ''f'', '''הרכבה''' של ''g'' על ''f'']]
ב[[מתמטיקה]], ה'''הרכבה''' של פונקציות היא הפונקציה המתקבלת מהפעלתן בזו אחר זו, כלומר, אם f פונקציה מ-X ל-Y ו- g פונקציה מ-Y ל-Z, אז ההרכבה <math>\ g \circ f</math> (בסדר זה) היא הפונקציה מ-X ל-Z המוגדרת לפי <math>\ (g \circ f)(x) = g(f(x))</math>. ההרכבה מוגדרת בתנאי שה[[טווח של פונקציה|טווח]] של הפונקציה הראשונה (f דלעיל) מוכל מ[[תחום של פונקציה|תחום]] של הפונקציה השניה (g).
התכונה החשובה ביותר של הרכבת פונקציות היא ה[[אסוציאטיביות]] של הפעולה: אם אפשר להרכיב אם h על g ואת g על f, אז <math>\ h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f</math>. בזכות תכונה זו, והעובדה שלמערכות של פונקציות יש תפקיד מרכזי כל-כך במתמטיקה, מרבית הפעולות ב[[מבנה אלגברי|מבנים אלגבריים]], ובראשם ה[[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורות]], הם אסוציאטיביים. לדוגמא, אוסף כל הפונקציות מקבוצה X לעצמה הוא [[מונויד]]. פונקציה שהיא [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]] ו[[פונקציה על|על]] היא '''הפיכה''': קיימת g כך שההרכבות <math>\ f \circ g</math> ו- <math>\ g \circ f</math> הן [[פונקציית הזהות]] על X.
הרכבת [[פונקציה|פונקציות]] היא פעולה [[מתמטיקה|מתמטית]] שבה מופעלת פונקציה אחת על התוצאות של פונקציה אחרת.
הפונקציות ''f'': ''X'' → ''Y'' ו- ''g'': ''Y'' → ''Z'' ניתנות להרכבה על ידי הצבת
ערך ''x'' בפונקציה ''f'' ואת התוצאה להציב בפונקציה ''g''.
כך מתקבלת פונקציה חדשה המורכבת מ-''f'' ו-''g'' כך ש: ''g'' <small>o</small> ''f'': ''X'' → ''Z''
<br />הגדרתה: ((''g'' <small>o</small> ''f'')(''x'') = ''g''(''f''(''x'')'' לכל ''x'' איבר ב-''X''.
<br />
(<small>o</small> - מסמל פעולת הרכבת פונקציה)
== הרכבה של פונקציות ממשיות ==
הרוב המכריע של הפונקציות המופיעות בחישובים מדעיים מתקבלות כהרכבות של פונקציות יסודיות; הרכבות כאלה נקראות [[פונקציה אלמנטרית|פונקציות אלמנטריות]]. למשל, הפונקציה <math>\ f(x) = e^{\sin(x^2)}</math> היא ההרכבה <math>\ f= \exp \circ \sin \circ s</math> כאשר <math>\ s(x) = x^2</math> ו- <math>\ \exp(x) = e^x</math>. [[כלל השרשרת]] קובע את ה[[נגזרת]] של הרכבת פונקציות, באופן התלוי בנגזרות של המרכיבים.
==דוגמה נוספת==
נניח שנתונה הפונקציה: f(x)=x<sup>2</sup>+1,
, אם x=2 אז אפשר לכתוב f('''2''')=2<sup>2</sup>+1
ואם נתון x=3 אז אפשר לכתוב f('''3''')=3<sup>2</sup>+1.
זה פשוט לכתיבה, אבל לפעמים פשוט יותר להציג פונקציה כשתי פונקציות אחרות.
לדוגמה: אם g(x)=cos x ו- f(x)=x<sup>2</sup>+3x-1 אפשר לכתוב כך: <math>\ f(g(x))=\cos^2(x)+3 \cos(x)-1</math>.
בעצם, החלפנו את המשתנה x בפונקציה (f(x, פונקציה כזאת שבנויה מכמה פונקציות אחרות, נקראת '''פונקציה מורכבת'''.
==תכונות וסימונים==
אם פעולת ההרכבה של פונקציות מקיימת [[סגירות (אלגברה)|סגירות]] ביחס ל"טווח" הפונקציות
אז פעולת ההרכבה היא [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] (בעברית: קיבוצית, כלומר, מקיימת את חוק הקיבוץ).
לצרכי נוחות, לפעמים משתמשים בסימוני חזקות לציון הרכבות מרובות (כמו שחזקה עבור מספר היא סימון מקוצר לכפולות שלו עם עצמו, כך שכתיבת סמל חזקה על פונקציה (f<sup>2</sup>(x, היא בדרך כלל קיצור לפעולת ההרכבה שלה עם עצמה). כתיבה של פונקציה בחזקת 0 היא [[פונקציה#תכונות של פונקציות|פונקציית הזהות]] ופונקציה בחזקות שליליות הן [[פונקציה הפוכה|פונקציות הפוכות]].
==שימוש==
הרכבת פונקציות היא פעולה מאוד נפוצה ושימושית, '''פונקציה הפוכה''' מוגדרת למשל כפונקציה שהרכבתה על הפונקציה המקורית (ולהיפך) מחזירה את המשתנה המקורי.
ב[[חשבון אינפיניטסימלי]] קיים כלל פשוט ל[[נגזרת|גזירה]] של הרכבת פונקציות שנקרא [[כלל השרשרת]].
[[קטגוריה: תורת הקבוצות]]
| 