עצמאות (לוגיקה מתמטית) – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ בוט החלפות: על ידי; |
מאין תקציר עריכה |
||
שורה 2:
ישנן כמה דוגמאות מפורסמות לטענות עצמאיות:
* [[אקסיומת המקבילים]], הקובעת שדרך כל נקודה מחוץ לישר עובר קו מקביל אחד ויחיד - עצמאית ביחס
* [[אקסיומת הבחירה]] עצמאית
* [[השערת הרצף]] עצמאית מ[[אקסיומות צרמלו פרנקל]] יחד עם [[אקסיומת הבחירה]].
המתמטיקאי ה[[אוסטריה|אוסטרי]]-[[ארצות הברית|אמריקאי]] [[קורט גדל]] הוכיח ב-[[1931]] שבכל [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] [[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] [[עקביות (לוגיקה מתמטית)|עקבית]] המבוססת על [[שפה מסדר ראשון]] שיש בה מספיק מושגים כדי לנסח טענות על כפל במספרים השלמים, יש נוסחאות שלא ניתן להוכיח אותן או את שלילתן. מכאן ששפה אפקטיבית חזקה מספיק, אינה יכולה להיות עקבית ו[[שלמות (לוגיקה מתמטית)|שלמה]], וחייבות להיות בה טענות עצמאיות. חוק זה נקרא [[משפט אי השלמות של גדל]], ובעקבותיו השתנתה ההתייחסות לתוכנית של [[דויד הילברט]] לבסס את כל ה[[מתמטיקה]] על [[קבוצה סופית]] של אקסיומות.
משפט אי-השלמות השני של גדל טוען שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה (אפקטיבית וחזקה מספיק) במסגרת האקסיומות של התורה עצמה. לפעמים אפשר להוכיח את העקביות של מערכת על ידי בניית [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שלה במסגרת מערכת אחרת. למשל, [[אקסיומות פאנו]] מתארות את המספרים השלמים, וניתן לבנות מודל שלהן במסגרת [[תורת הקבוצות]]. לכן, אם תורת הקבוצות חסרת סתירות, אז כך גם מערכת פאנו.
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]
| |||