עקביות (לוגיקה) – הבדלי גרסאות

ב[[לוגיקה]] וב[[מתמטיקה]], '''עקביות''' (או '''קונסיסטנטיות''', '''קוהרנטיות''') הואשל מושגמערכת ב[[לוגיקה]]מסוימת וב[[מתמטיקה]] המצייןפירושה שמערכת מסוימתזו היא נטולת [[סתירה|סתירות]]. ב[[לוגיקה מתמטית]], [[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] '''עקבית''' היא כזו שלא ניתן להוכיח במסגרתה [[טענה (לוגיקה מתמטית)|טענה]] והיפוכה. בתורות לא עקביות אפשר להוכיח כל טענה (משום שמהנחות שקריות נובעת כל מסקנה שהיא), ולכן נחשבת עקביות למעלה הכרחית בכל תורה המכבדת את עצמהראויה.

כדי להוכיח שמערכת היא עקבית מספיק למצוא [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] שמקיים את כל האקסיומותה[[אקסיומה|אקסיומות]] של המערכת. מודל עבור תורה A הנבנה במסגרת של תורה B מוכיח '''עקביות יחסית''' - אם B עקבית, אז גם A כזו. מודלים כאלו ידועים עבור [[גאומטריה|גאומטריות]] שונות (למשל, שתי הגרסאות ה[[גאומטריה לא אוקלידית|לא אוקלידיות]] של גאומטרית המישור הן עקביות ביחס לגאומטרית המישור האוקלידית), וגם עבור מערכות אקסיומטיות שונות ל[[תורת הקבוצות האקסיומטית|תורת הקבוצות]].

לכל מערכת אקסיומות עקבית יש מודל (משפט השלמות של גדל 1930). עם זאת, ישנן מודלים שבמסגרתם לא ניתן להראות עקביות. דוגמא לכך היא [[תורת המספרים]] ( המילה "תורה" כאן שונה במשמעותובמשמעותה מתורה של לוגיקה מתמטית והכוונה היא למודל ולא למערכת אקסיומות ). כדי להוכיח עקביות של מערכות כאלה יש להפעיל כלים מתמטיים סבוכים יותר. [[משפטי אי השלמות של גדל|משפט אי השלמות השני של גדל]] קובע שלא ניתן להוכיח את העקביות של תורה [[אריתמטיקה|אריתמטית]] ואפקטיבית[[תורה אפקטיבית|אפקטיבית]] (שהיא עקבית), במסגרת התורה עצמה.