ויקיפדיה

חבורת סימטריות מרחבית – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה
→ העריכה הקודמתהעריכה הבאה ←
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
חזותיקוד ויקי
מאין תקציר עריכה
מאין תקציר עריכה
שורה 7:
== חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של סריג ==
 
על-פי ההגדרה, חבורת סימטריות מרחבית [[פעולת חבורה על קבוצה|פועלת בנאמנות]] על סריג נתון, אך אין היא שווה בהכרח ל[[חבורת סימטריות|חבורת הסימטריות]] המלאה של אותו סריג (הכוללת את כל הפעולות האפשריות). לדוגמא, במקרה החד-ממדי, חבורת הסימטריות המרחבית המלאה של הסריג <math>\ \mathbb{Z}</math> כוללת את השיקוףה[[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]] ואת כל ההזזות במספר שלם. עם זאת, גם החבורה המורכבת משיקוף ומהזזות במספרים זוגיים, ואפילו זו המורכבת מהזזות זוגיות בלבד, נקראת חבורת סימטריות מרחבית.
 
כל סריג ב[[המרחב האוקלידי|מרחב האוקלידי]] <math>\ \mathbb{R}^n</math> הוא אוסף של נקודות <math>\ \Lambda = L \mathbb{Z}^n</math>, כאשר L היא [[מטריצה ריבועית]] ממשית קבועה, ו- <math>\ \mathbb{Z}^n</math> הוא אוסף [[וקטור עמודה|וקטורי העמודה]] באורך n עם רכיבים שלמים.
 
חבורת הסימטריות של הסריג מורכבת מסיבובים והזזות, ומ[[הרכבת פונקציות|הרכבות]] של אלו. הסיבובים שומרים על נקודת האפס של הסריג במקומה. סימטריה של סיבוב אפשר לתאר כפעולת [[כפל מטריצות|כפל]] (משמאל) ב[[מטריצה אורתוגונלית]]. החבורה של כל הסימטריות השומרות על נקודת הראשית היא ה[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] <math>\ S_0(\Lambda) = O_n(\mathbb{R}) \cap L\cdot \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})\cdot L^{-1}</math>, שהוא חבורה סופית (לפרטים ראו [[חבורת סימטריות נקודתית#חבורות סימטריה נקודתיות והסריגים שלהן|חבורת סימטריות נקודתית]]). באותו אופן, [[העתקה אפינית]] <math>\ x \mapsto v_0 + A x</math> היא סימטריה של הסריג, בדיוק כאשר <math>\ v_0 \in \Lambda</math> ו- <math>\ A \in S_0(\Lambda)</math>. ההעתקות הטהורות <math>\ x \mapsto x+v_0</math> מהוות [[תת-חבורה נורמלית]] של חבורת הסימטריות המרחבית (המלאה) של הסריג, ו[[חבורת מנה|חבורת המנה]] היא חבורת הסימטריות הנקודתית (המלאה). את ה[[מכפלה ישרה למחצה|מכפלה הישרה למחצה]] המתקבלת, אפשר להציג באופן מפורש כחבורה של מטריצות: <math>\ S(\Lambda) = \left(\begin{array}{cc}{S_0(\Lambda)}& {\Lambda} \\ {0}&{1} \end{array}\right)</math>.
 
כל תת-חבורה של החבורה הזו קרויה "חבורת סימטריות מרחבית" (מממד n). מכיוון שהסריג דיסקרטי במרחב, גם החבורה המרחבית היא [[סריג (תורת החבורות)|תת-חבורה דיסקרטית]] של חבורת הסימטריות המתאימה, <math>\ O_n(\mathbb{R}) \ltimes \mathbb{R}^n</math>.
שורה 25:
== פעולות על סריגים תלת-ממדיים ==
 
יש 32 חבורות סימטריה נקודתיות, המתאימות ל-14 [[סריג בראבה|מחלקות בראבה]], השייכות בתורן לשבע [[מערכת גבישית|מערכות גביש]]. החבורה הנקודתית משאירה נקודה קבועה במקומה, ופועלת בדרך של [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקוף]], [[סיבוב]] או [[הרכבת פונקציות|הרכבה]] של פעולות אלה. חבורת כל הסימטריות של סריג מורכבת, כאמור, מן החבורה הנקודתית, ומסימטריות ההזזה של הסריג; סימטריות אלה אינן תלויות במפורש במבנה המדוייקהמדויק של הסריג, אלא רק במחלקת בראבה שאליה הסריג שייך. חבורת הסימטריות המרחבית עשויה לכלול גם פעולות משולבות כמו סיבוב בורג, או החלקה ושיקוף במישור, כפי שיוסבר להלן. מכל הפעולות האלה אפשר לקבל בדיוק 230 חבורות סימטריה מרחביות שונות.
 
=== החלקה במישור וסיבוב בורג ===
שורה 39:
יש כמה שיטות שונות לסימון חבורות מרחביות. [[האיגוד הבינלאומי לקריסטלוגרפיה]] מפרסם כרך של טבלאות המתארות את כל החבורות המרחביות, ומתאים לכל אחת מהן מספר ייחודי. פרט למספור המקובל הזה, יש שתי שיטות אחרות: [[סימון הרמן-מאגוין]] ו[[סימון שונפלייס]].
 
סימון הרמן-מאגוין (הנקרא גם "הסימון הבינלאומי") הוא הסימון המקובל בתחום, והוא מורכב מארבעה תויםתווים ראשיים. הראשון מתאר את אופי המרכוז של סריג בראבה המתאים לחבורה: P, A, B, C, I, R או F. שלושת הבאים מתארים את פעולות הסימטריה הבולטות ביותר, כאשר מטילים בכיוון הסימטריה העיקרי של הסריג. הסמלים זהים לאלו המשמשים ב[[חבורת סימטריה נקודתית|חבורות נקודתיות]], בתוספת האפשרות להחלקה במישור ולסיבובי בורג, שתוארו לעיל. לדוגמא, החבורה המרחבית של ה[[קווארץ]] היא <math>\,P3_{1}21</math>, ופירושו של דבר שהיא נוצרת על-ידי מרכוז פרימיטיבי של תא היחידה (P), עם שליש סיבוב (והחלקה) בכיוון אחד, מחצית הסיבוב בכיוון אחר, וסיבוב מלא בכיוון שלישי. מן הסימון לא ניתן לקרוא את המערכת הגבישית, אם כי זו נקבעת באופן יחיד לכל חבורה מרחבית (המערכת היא טריגונלית במקרה של הקווארץ).
 
בשיטת סימון זו, הסימן הראשון (<math>3_1</math> בדוגמא) קובע את פעולת החבורה בכיוון של הציר הראשי (הציר c במקרה של סריגים טריגונליים), השני מתאר את הפעולה בכיוון השני בגודלו (a ו-b במקרה זה), והשלישי הוא פעולת הסימטריה בכיוון אחר, אם יש כזו. לסריגים טריגונליים יש חבורת סימטריה מרחבית נוספת - <math>\,P3_112</math>, שבה פעולת מחצית הסיבוב אינה בכיוון הצירים המשניים a ו-b, אלא בכיוון אחר, הנמצא בזווית <math>\,30^\circ</math> מהם.
שורה 47:
אם מתעלמים מן ההסטה שיש בכל פעולה בחבורה, מתקבלת חבורת המנה ביחס לחבורת ההסטות, שהיא [[חבורת סימטריות נקודתית]]. מנקודת המבט הזו, הנקודתית, סיבוב בורג שקול לסיבוב הטהור באותה זווית, והחלקת מישור שקולה לשיקוף באותו מישור. באמצעות ניוון מתאים של יוצרי החבורה, אפשר להתאים כל חבורת סימטריות מרחבית לחבורת הסימטריות הנקודתית שלה.
 
במימדבממד 1 יש רק שני טיפוסים אפיניים: ה[[חבורה דיהדרלית|חבורה הדיהדרלית האינסופית]], שיש בה סימטריית שיקוף, וה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית האינסופית]], המורכבת מהזזות בלבד.
 
במימדבממד 2 יש 17 חבורות סימטריה מרחביות, הידועות גם כ"[[חבורות ריצוף]]" של המישור, או "חבורות סימטריה מישוריות".
 
במימדבממד 3 יש 230 חבורות סימטריה מרחביות (היינו, 230 טיפוסים קריסטלוגרפיים), השייכות ל- 219 טיפוסים אפיניים, מכיוון שכמה חבורות שונות מתמונת המראה שלהן (לדוגמא, <math>P3_112</math> ו-<math>P3_212</math>). החבורות האלה מתמיינות ל-32 "מחלקות סריגיות" (crystal classes), על-פי החבורה הנקודתית.
 
במימדבממד 4 יש 4895 חבורות סימטריה מרחביות, השייכות ל- 4783 טיפוסים אפיניים
<ref> H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek and H. Zassenhaus, Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space. Wiley, NY, 1978, p. 52. </ref>.
 
אוחזר מתוך "https://he.wikipedia.org/wiki/חבורת_סימטריות_מרחבית"