פעולה טרנזיטיבית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 7:
כאשר החבורה G פועלת על קבוצה X, היא פועלת מניה וביה גם על המכפלה הקרטזית של X עם עצמה, ובאופן כללי יותר על כל חזקה של X. הפעולה מוגדרת לפי <math>\ g(x_1,\dots,x_k)=(g(x_1),\dots,g(x_k))</math>, כלומר פעולה על כל רכיב בנפרד. גם אם מוציאים מהחזקה <math>\ X^k</math> את '''האלכסון המוכלל''' ומשאירים רק את הקבוצה <math>\ X^{[k]}</math> של הווקטורים באורך k שכל רכיביהם שונים זה מזה, קבוצה זו עדיין מצוידת בפעולה של G, המכלילה את פעולתה על הרכיבים.
אם G פועלת באופן טרנזיטיבי על <math>\ X^{[k]}</math>, אז הפעולה שלה על X היא '''פעולה k-טרנזיטיבית'''. ניסוח אחר: G פועלת k-טרנזיטיבית על X, אם לכל <math>\ x_1,\dots,x_k</math> שונים זה מזה, ולכל <math>\ y_1,\dots,y_k</math> שונים זה מזה, קיים איבר של החבורה המעביר <math>\ g(x_i)=y_i</math>. אם יש בחבורה איבר יחיד g כנ"ל, אז הפעולה היא k-טרנזיטיבית '''חדה'''. כמובן שפעולה 3-טרנזיטיבית היא תכונה חזקה יותר מפעולה 2-טרנזיטיבית, וכן הלאה.
לדוגמה, הפעולה של החבורה הסימטרית <math>\ S_n</math> על הקבוצה <math>\ \{1,\dots,n\}</math> היא פעולה n-טרנזיטיבית (חדה), בעוד שהפעולה של [[חבורת התמורות הזוגיות]] <math>\ A_n</math> על אותה קבוצה היא (n-2)-טרנזיטיבית (חדה). כאשר <math>\ m<n-1</math>, הפעולה של <math>\ S_n</math> היא m-טרנזיטיבית אבל אינה חדה.
=== מיון של פעולות טרנזיטיביות ===
מתברר שפעולה נאמנה בעלת סדר טרנזיטיביות גבוה היא תופעה נדירה למדי בין החבורות הסופיות. פרט לחבורות <math>\ S_n</math> ו- <math>\ A_n</math>, רק ארבע מבין חמש [[חבורות מתיו]] הן 4-טרנזיטיביות או 5-טרנזיטיביות, ואין אף חבורה אחת שהיא 6-טרנזיטיבית
| |||