נוסחת קרמר – הבדלי גרסאות

כאשר בשורה התחתונה במטריצה כל האברים הם אפס, פרט לעמודה ה-<math>\ k</math> ולעמודה ה-<math>\ n+1</math>. מכיוון שהווקטור <math>\ x</math> פותר את המערכת, קל לראות על ידי העברת אגפים כי הווקטור המורחב <math> \ (x_1, x_2, \dots , x_n, -1) </math> פותר את המערכת המורחבת, שהיא כעת מערכת הומוגנית. מאלגברה לינארית אנו יודעים כי למערכת משוואות הומוגנית יש פתרון לא טריוויאלי [[אם ורק אם]] הדטרמיננטה מתאפסת. הווקטור המורחב אינו וקטור האפס והוא פותר את המערכת, ולכן הדטרמיננטה של המטריצה המורחבת חייבת להתאפס. [[דטרמיננטה#פיתוח לפי מינורים|נפתח את הדטרמיננטה לפי השורה התחתונה]], ונשים לב כי המינור ה-<math>\ k</math> הוא פשוט הדטרמיננטה של המטריצה <math>\ A_k </math> מוכפל בגורם <math>\ (-1) ^{n-k}</math>, מכיוון שכדי להביא את העמודה האחרונה למקום ה-<math>\ k</math> יש לבצע על העמודות [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] שהיא מחזור באורך <math>\ n-k+1</math>. בנוסף, מהנוסחה לפיתוח המינור יש להכפיל בגורם <math> \ (-1)^{n+1+k}</math> ולכן מתקבל:

 

 

כלומר, <math> x_k =\frac{\det A_k}{\det A}</math>