|
==הוכחה==
אם <math>\ abc</math> הוא המספר שלנו, כאשר כל אות מייצגת אחת מספרותיו, אז ערכו הוא <math>\ 100\cdot a+10\cdot b+c</math> וערכו של המספר ה"הפוך" <math>\ cba</math> הוא <math>\ 100\cdot c+10\cdot b+a</math>. מכאן שאחרי שמחסרים את הקטן מהגדול (נניח כי הגדול הוא <math>\ abc</math>; אותו טיעון תקף גם במקרה ההפוך) מתקבל <math>\ 99\cdot a-99\cdot c=99\cdot (a-c)</math>. אם המספר המקורי לא היה פלינדרום הרי ש-<math>\ a\ne c</math>, ולכן תוצאת החיסור היא כפולה של 99.
ניתן להראות את קיום התכונה של המספר בצורה כללית באמצעות הכללים של חיבור וחיסור ארוכים.
לא קשה לראות (למשל, על ידי בדיקה ישירה) כי כל כפולה של 99 בת 3 ספרות מקיימת את התכונה שהספרה האמצעית שלה היא 9 וסכום שתי הספרות האחרות גם הוא 9 (למשל - 99 כפול 3 הוא 297 המקיים את התכונה; וגם על 99 ניתן לחשוב כעל המספר "התלת ספרתי" 099 המקיים את התכונה). כלומר, תוצאת החיסור היא <math>\ x9y</math> עם <math>\ x+y=9</math>. לאחר שמחברים את <math>\ x9y</math> עם <math>\ y9x</math> מקבלים <math>\ 101\cdot (x+y)+2\cdot 90=101\cdot 9+180=909+180=1089</math>, כמצופה.
יהא <math>\ abc</math> המספר שלנו, כאשר כל אות מייצגת אחת מספרותיו. מכיוון שהנחנו שהמספר אינו פלינדרום, הרי ש<math>\ a\ne c</math>. נניח ללא הגבלת הכלליות כי <math>\ a>c</math>, ואז המספר <math>\ abc</math> גדול מהמספר ההפוך <math>\ cba</math>.
נתחיל בחיסור. ראשית נחסר את ספרות האחדות. כלומר, אנו מבצעים את החיסור <math>\ c-a</math>. אולם <math>\ c<a</math> ולכן יש "לשאול" 10 מספרת העשרות. כלומר, הערך שמתקבל מחיסור ספרות האחדות הוא <math>\ x=10+c-a</math>.
כעת, הערך שמתקבל מחיסור ספרות העשרות הוא <math>\ b-b-1</math>, וזה יצא שלילי, ולכן יש "לשאול" 10 מספרת המאות. על כן נקבל מחיסור ספרת העשרות את הערך <math>\ 9</math>.
חיסור ספרת המאות נותן לנו <math>\ a-c-1</math>. כעת נשים לב כי <math>\ a-c=10-x</math>, כלומר חיסור ספרת המאות נותן לנו <math>\ y=9-x</math>.
התוצאה הסופית של חיסור המספר <math>\ cba</math> מהמספר <math>\ abc</math> היא אם כך <math>\ y9x</math>, כאשר <math>\ y=9-x</math>.
כעת נחבר את <math>\ y9x</math> עם היפוכו, <math>\ x9y</math>. ספרת האחדות היא <math>\ x+y=x+9-x=9</math>. חיבור ספרת העשרות נותן לנו <math>\ 9+9=18</math> ולכן אנו רושמים 8 ומעבירים 1 הלאה. חיבור ספרת המאות נותן לנו <math>\ y+x+1=9-x+x+1=10</math> ולכן סכום ספרת המאות נותן לנו <math>\ 10</math>. על כן, בסך הכול קיבלנו את המספר <math>\ 1089</math>.
{{מספרים}}
| 