קירוב זווית קטנה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
עריכה |
מ תיקון: זוטות [JS] |
||
שורה 1:
'''קירוב זוויות קטנות''' הוא [[קירוב
: <math>\sin x \simeq x</math>,
: <math>\cos x \simeq 1</math>, ו-
: <math>\tan x \simeq x</math>.
קירוב זוויות קטנות שימושי מאוד בניתוחים פיזיקליים, כולל בתחומי ה[[אופטיקה]], [[אלקטרומגנטיות]], [[אסטרונומיה]] ועוד.
==
[[
כאשר אחת הזוויות של [[משולש ישר זווית]] היא קטנה, היתר שווה בערך לצלע הסמוכה לזווית, כך שהקוסינוס שווה בערך ל-1. הצלע שמנגד לעומת זאת קטנה משמעותית מהיתר, ואורכה בערך כאורך הקשת המתאימה לזווית, ולכן היחס בינה לבין הצלע הסמוכה או היתר, הלא הוא ערך הפונקציות סינוס וטאנגנס, שווה בערך לגודל הזווית.
==
את הקירוב לקוסינוס אפשר לשפר ל[[קירוב מסדר שני]]: <math>\cos x \simeq 1 - \frac{x^2}{2}</math>. באופן כללי יותר, טורי טיילור המתאימים לפונקציות הטריגונומטריות השונות הם כלהלן:
: <math>\sin\left( x \right) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots </math>
: <math>\cos\left( x \right) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots </math>
: <math>\tan\left( x \right) = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots</math>
כאשר ''x'' היא הזווית ברדיאנים. עבור ערכי ''x'' קטנים, החזקות של ''x'' דועכות במהירות לאפס, כך שניתן להזניח את האיברים הללו ולהכליל אך ורק את החזקה הנמוכה ביותר, היא החזקה הלינארית עבור סינוס וטנגנס, והקבוע 1 עבור קוסינוס. כדי להגדיל את הדיוק של הקירוב ניתן להוסיף את האיברים של החזקות הבאות. הקירוב מסדר שני של הסינוס והטנגנס שווה לקירוב מסדר ראשון, בקוסינוס לעומת זאת קיים איבר מסדר שני, ולכן הקירוב המדוייק יותר מסדר שני כולל שני איברים.
==ראו גם==
▲* [[הגבול של sin(x)/x]].
[[קטגוריה:גאומטריה]]
| |||