|
את תורת הקבוצות החל לפתח [[גאורג קנטור]], בשני מאמרים שפרסם ב-[[1895]] וב-[[1897]] תחת הכותרת "תרומה ליסודות התאוריה של מספרים טרנספיניטים" (במקור - בגרמנית), בכתב-העת [[Mathematische Annalen]].
ביחד עם [[לוגיקה]] וענפים אחרים ב[[מתמטיקה]], תורת הקבוצות האקסיומטית מהווה חלק עיקרי ב[[יסודות המתמטיקה]], כאשר מה[[אקסיומה|אקסיומות]] שלה נובעים המשפטים הבסיסיים שעליהם חלקים אלה מתבססים. בין היתר תורת הקבוצות דנה במושג הסדר של קבוצה (הגדרה ופיתוח הנושא של סדר האיברים בקבוצה), הגודל - ה[[עוצמה]] שלה (מבחינה אינטואיטיבית - כמה איברים יש בקבוצה), ובבניית מערכות ה[[מספר|מספרים]] הבסיסיות והוכחת תכונותיהן - הטבעיים, השלמים, הרציונליים, הממשיים והמרוכבים.
==הגדרת הקבוצה ויחסים בין קבוצות==
מנקודת מבט לוגית, נתבונן בעצם כלשהו (אם זהו מספר, סימול מופשט כלשהו, או קבוצה אחרת), ונשאל את השאלה: "האם העצם הזה הוא איבר בקבוצה A?". כלומר, על כל עצם x כלשהו נוכל להגיד אך ורק אחת משתי האפשרויות הבאות:
* "העצם x איבר בקבוצה A" או
* "העצם x אינו איבר בקבוצה A".
נסמן שייכות זו בסימון הבא: <math>x\in A</math>, כלומר x '''איבר ב'''קבוצה A. (איבר אינו יכול "להופיע פעמיים" בקבוצה - או שהוא שייך לה, או שאינו שייך).
נתבונן עתה בקבוצה A כלשהי, ועליה נשאל, "האם בקבוצה A יש איברים?"
*אם אין בה איברים, זוהי [[הקבוצה הריקה]] ונסמן אותה: <math>A=\empty</math>.
*אם קיימים בה איברים, אז היא אינה קבוצה ריקה לכן <math>A\ne\empty</math>.
את הקבוצה A שבה קיימים שלושת האיברים a, b ,c נסמן:
:<math>A=\left\{a,b,c\right\}</math>
נתבונן בשתי קבוצות A ו-B אשר בהן מספר כלשהו של איברים.
יחסים חשובים בין הקבוצות הם:
* '''הכלה''' או '''חלקיות''': כלומר, כל איבר x בקבוצה A הוא גם איבר בקבוצה B, יחס זה מסומן ב- <math>A\subseteq B</math>, אומרים גם שהקבוצה A חלקית לקבוצה B.
* '''שוויון''': שתי קבוצות הן שוות בדיוק כאשר יש להן אותם איברים; אפשר לנסח תכונה זו כהכלה בשני הכיוונים: <math>A=B</math> אם ורק אם <math>A\subseteq B</math> וגם <math>B\subseteq A</math>. זו תכונה מהותית של קבוצות, הממחישה שאין להן מבנה או תכונות מעבר לרשימת האיברים שהן מכילות.
* '''חלקיות ממש''': הקבוצה A תהיה חלקית ממש לקבוצה B אם ורק אם היא חלקית לה אך אינה שווה לה. בצורה אחרת נגדיר <math>A\subset B</math> [[אם"ם]] <math>A\subseteq B</math> וגם קיים איבר x ב-B שמקיים <math>x\notin A</math>.
==קבוצה אינסופית==
מתי קבוצה היא "סופית", ומתי היא "אינסופית"? נתאר קבוצה אשר מייצגת את כל ה[[מספר טבעי|מספרים הטבעיים]], כלומר ...1,2,3 אשר כבר מוכרים לנו מחיי היום יום ונגדיר אותה חלקית:
:<math> N = \left\{1,2,3,...\right\} </math>
הקבוצה N מוגדרת באופן שאינו מאפשר "לספור" את איבריה, כלומר, אם ננסה לספור אותם אז תמיד יהיו איברים נוספים בקבוצה שעלינו לספור. תכונה זו נלמדה על ידי רבים והוצעו מספר דרכים לתאר קבוצה מסוג זה באופן מתמטי, דרך נפוצה היא בשימוש ב[[אקסיומות פאנו]].
קנטור השתמש בדרך אחרת להתמודד עם בעיית הספירה וההתייחסות אל "גודלן" של קבוצות אלו. הוא חיפש דרך לבטא את פעולת הספירה ה"אינטואיטיבית" בשימוש בכלים מתמטיים כגון [[פונקציה|פונקציות]] (אשר קודמים לרעיון ה"מספר"). ולמעשה "להרחיב" את היחסים המוכרים בין הקבוצות ה"סופיות" גם ל"[[קבוצה אינסופית|אינסופיות]]". מציאת ''מיפוי'' (או "התאמה חד-חד ערכית") בין קבוצות, שהיא למעשה [[פונקציה חד-חד ערכית]] מ-A על B, מרמזת על כך ששתי קבוצות סופיות יהיו באותו "גודל":
למשל לקבוצות הסופיות A, B המוגדרות:
:<math> A = \left\{1,2,3,4\right\} </math>
:<math> B = \left\{c,d,e,f\right\} </math>
נבנה פונקציה חד-חד ערכית מ-A על B: (בשימוש ב[[זוג סדור|זוגות סדורים]])
:<math> f = (A,B,\left\{(1,c),(2,d),(3,e),(4,f)\right\}) </math>
מקיום המיפוי נסיק שקבוצות אלו הן "באותו גודל". מצאנו דרך מתמטית לטפל בהשוואת "גודלן" של קבוצות סופיות. במינוח המתמטי, יחס זה נקרא '''שקילות''' בין קבוצות. וקבוצות שביניהן ניתן למצוא יחס כזה נקראות '''שקולות''' או '''שוות עצמה'''.
נבדוק עכשיו שקילות של קבוצות אינסופיות כלשהן, למשל, קבוצות המספרים הטבעיים, והטבעיים הזוגיים המוגדרות:
:<math> N = \left\{1,2,3,...\right\} </math>
:<math> N_2 = \left\{2,4,6,...\right\} </math>
נגדיר פונקציה:
:<math> f: N \to N_2,\quad f(x)=2x </math>
פונקציה זו, המוגדרת בין שתי הקבוצות, היא חד-חד ערכית ו[[התאמה על|על]]. מסקנה: קבוצת המספרים הטבעיים שקולה לקבוצת המספרים הטבעיים הזוגיים.
בשימוש בהתאמות למציאת עצמת קבוצות, הוצאו מספר תוצאות מזהירות (ולעתים מפתיעות) ביחסים בין קבוצות אינסופיות. ביניהן: קנטור הוכיח קיום שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים ל[[מספר רציונלי|מספרים הרציונליים]]. כמו כן, אי שקילות בין כל קבוצה ל[[קבוצת החזקה]] שלה ([[משפט קנטור (לקבוצת החזקה)|משפט קנטור]]) ואי שקילות בין קבוצת המספרים הטבעיים לממשיים ([[האלכסון של קנטור]]).
קבוצות אלו נקראות בעלות [[עוצמה]] (או מספר קרדינלי) שונה, ונמצאו קבוצות אינסופיות רבות נוספות בעלות עוצמות שונות. מושג ה[[עוצמה]] משמש כיום ככלי מרכזי בהתייחסות מתמטית ל"גודלן" של קבוצות אינסופיות (וסופיות).
נגדיר עכשיו מהי [[קבוצה אינסופית]]. בניגוד להבנה האינטואיבית של קבוצה אינסופית כ"קבוצה שלא ניתן לספור את איבריה" שבה השתמשנו עד כה. נגדיר קבוצה אינסופית באופן מדויק יותר:
:'''קבוצה אינסופית היא קבוצה שקיימת קבוצה החלקית לה ממש ושקולה לה.'''
או לחלופין:
:'''קבוצה היא אינסופית אם ורק אם קיימת פונקציה חד-חד ערכית מ-A ל-A שאינה ''על'' A.'''
==פרדוקסים==
הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, מובילה למספר פרדוקסים. ביניהם, למשל, [[הפרדוקס של ראסל]] שעוסק בקבוצה A המוגדרת להלן:
:'''בקבוצה A תהיה איבר כל קבוצה X שאינה איבר של עצמה.'''
כלומר, לכל קבוצה X, X היא איבר ב-A אם ורק אם הקבוצה X אינה איבר ב-X. נשאלת עכשיו השאלה: האם הקבוצה A היא איבר ב-A? אם כן, אז בהגדרתנו את הדרישות ל-A אז A אינה איבר של עצמה. אך אז, בהגדרת הדרישות מהקבוצה X, אז הקבוצה A היא כן איבר של עצמה. שתי אפשרויות אלה מובילות לסתירה פנימית בכך שהוכחנו משפט והיפוכו מאותה מערכת לוגית.
בעקבות סתירה זו, ובעיות נוספות, שביניהן למשל הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס לקבוצת החזקה שלה (האם היא שקולה לה?) ולמשל [[הפרדוקס של בורלי פורטי]], והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], שהיא למעשה מה שלרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של [[ארנסט צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל]] ([[אקסיומות צרמלו-פרנקל]]) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.
== ראו גם ==
* [[תורת הקבוצות - מונחים]]
==לקריאה נוספת==
* [[אברהם הלוי פרנקל]], '''מבוא למתמטיקה''', כרך שני: האינסוף והמרחב, חטיבה ראשונה: תורת הקבוצות, [[הוצאת מסדה]], 1953
== קישורים חיצוניים ==
{{מיזמים|ויקיספר=תורת הקבוצות}}
* {{פא"ר|מספר=91|שם הספר=תורת הקבוצות|כותב=שמואל ברגר|שנה=1992}}
{{תורת הקבוצות}}
[[קטגוריה:תורת הקבוצות]]
[[en:SetNaive set theory]]
[[ancs:TeoríaNaivní deteorie conchuntosmnožin]]
[[de:Naive Mengenlehre]]
[[ar:نظرية المجموعات]]
[[es:Teoría informal de conjuntos]]
[[az:Çoxluqlar nəzəriyyəsi]]
[[fa:نظریه طبیعی مجموعهها]]
[[bat-smg:Aibiu teuorėjė]]
[[fr:Théorie naïve des ensembles]]
[[be:Тэорыя мностваў]]
[[hu:Naiv halmazelmélet]]
[[be-x-old:Тэорыя мностваў]]
[[it:Teoria ingenua degli insiemi]]
[[bg:Теория на множествата]]
[[mk:Наивна теорија на множествата]]
[[bn:সেট তত্ত্ব]]
[[nl:Naïeve verzamelingenleer]]
[[br:Teorienn an teskadoù]]
[[pt:Teoria ingênua dos conjuntos]]
[[bs:Teorija skupova]]
[[zh:朴素集合论]]
[[ca:Teoria de conjunts]]
[[cs:Teorie množin]]
[[cv:Нумайлăх теорийĕ]]
[[da:Mængdelære]]
[[de:Mengenlehre]]
[[el:Θεωρία συνόλων]]
[[eo:Aroteorio]]
[[es:Teoría de conjuntos]]
[[et:Hulgateooria]]
[[fa:نظریه مجموعهها]]
[[fi:Joukko-oppi]]
[[fiu-vro:Hulgateooria]]
[[fo:Mongdarlæra]]
[[fr:Théorie des ensembles]]
[[fur:Teorie dai insiemis]]
[[hi:समुच्चय सिद्धान्त]]
[[hr:Teorija skupova]]
[[hu:Halmazelmélet]]
[[id:Teori himpunan]]
[[io:Ensemblo-teorio]]
[[is:Mengjafræði]]
[[it:Teoria degli insiemi]]
[[ja:集合論]]
[[ka:სიმრავლეთა თეორია]]
[[ko:집합론]]
[[la:Theoria copiarum]]
[[lmo:Teuría di cungjuunt]]
[[lv:Kopu teorija]]
[[mk:Теорија на множествата]]
[[mr:संचप्रवाद]]
[[ms:Teori set]]
[[new:सेट सिद्धान्त]]
[[nl:Verzamelingenleer]]
[[nn:Mengdelære]]
[[no:Mengdelære]]
[[nov:Ensemble-teorie]]
[[pl:Teoria mnogości]]
[[pms:Teorìa dj'ansem]]
[[pt:Teoria dos conjuntos]]
[[ru:Теория множеств]]
[[simple:Set theory]]
[[sk:Teória množín]]
[[sl:Teorija množic]]
[[sr:Теорија скупова]]
[[sv:Mängdteori]]
[[ta:கணக் கோட்பாடு]]
[[th:ทฤษฎีเซต]]
[[uk:Теорія множин]]
[[ur:نظریۂ طاقم]]
[[vi:Lý thuyết tập hợp]]
[[vo:Konletateor]]
[[war:Teyorya set]]
[[yi:סכומען טעאריע]]
[[zh:集合论]]
[[zh-classical:集論]]
[[zh-min-nan:Chi̍p-ha̍p-lūn]]
[[zh-yue:集合論]]
| 