תורת הקבוצות הנאיבית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
מ ←פרדוקסים: הבהרה |
||
שורה 10:
==פרדוקסים==
הגדרת מושג הקבוצה באופן שמאפשר, הלכה למעשה, לכל עצם להיכלל בה, הובילה למספר פרדוקסים. ביניהם, למשל, [[הפרדוקס של ראסל]].
הפרדוקס עוסק בקבוצה D המוגדרת להלן:
:'''בקבוצה A תהיה איבר כל קבוצה X שאינה איבר של עצמה.'''▼
כלומר, לכל קבוצה X, X היא איבר ב-A אם ורק אם הקבוצה X אינה איבר ב-X. נשאלת עכשיו השאלה: האם הקבוצה A היא איבר ב-A? אם כן, אז בהגדרתנו את הדרישות ל-A אז A אינה איבר של עצמה. אך אז, בהגדרת הדרישות מהקבוצה X, אז הקבוצה A היא כן איבר של עצמה. שתי אפשרויות אלה מובילות לסתירה פנימית בכך שהוכחנו משפט והיפוכו מאותה מערכת לוגית.▼
כלומר, לכל קבוצה X, X היא איבר ב-D אם ורק אם הקבוצה X אינה איבר ב-X. לגבי הדוגמאות שהבאנו לעיל מתקיים: A היא איבר ב-D, ואילו B אינה איבר ב-D.
▲
בעקבות סתירה זו, ובעיות נוספות, שביניהן למשל הגדרת "קבוצת כל הקבוצות" והשלכותיה ביחס ל[[קבוצת חזקה|קבוצת החזקה]] שלה (האם היא שקולה לה?) ולמשל [[הפרדוקס של בורלי-פורטי]], והצורך לבסס את רעיון הקבוצה באופן אקסיומטי, פותחה [[תורת הקבוצות האקסיומטית]], שהיא למעשה מה שלרוב מתכוונים היום מתמטיקאים כאשר הם מדברים על "תורת הקבוצות". האקסיומטיזציה של [[ארנסט צרמלו]] ו[[אברהם הלוי פרנקל]] ([[אקסיומות צרמלו-פרנקל]]) מטילה מספר מגבלות על הגדרות של קבוצות כדי להימנע מהסתירות בתורה הנאיבית שהודגמו לעיל, והיא כיום הדרך המקובלת להתייחס לקבוצות באופן פורמלי.
| |||