ויקיפדיה:הכה את המומחה – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שורה 239:
ברשותכם יש לי שאלה נוספת במתמטיקה. אני יודע שהפונקציה היחידה שהנגזרת שלה שווה לה, היא e בחזקת x או 0 (או ליתר דיוק: קבוע כפול e בחזקת x). לעומת זאת בסינוס וקוסינוס, הנגזרת הרביעית שווה לפונקציה, ולכן גם השמינית וכן הלאה. השאלה היא, אילו פונקציות שוות לנגזרת ה-n שלהן למספר כלשהו n? לדוגמה נגזרת שלישית, חמישית, שישית, שביעית וכן הלאה. ואם אפשר להגדיר גם מספר לא שלם z, כך שהנגזרת ה-z של הפונקציה שווה לפונקציה המקורית? אני יודע שאפשר להגדיר פונקציות כאלה לפי טור טיילור שלהן, אבל אני לא ממש בקי במשוואות דיפרנציאליות. נדמה לי שבסינוס וקוסינוס היפרבולי, הנגזרת השנייה שווה לפונקציה. זה נכון? ומה לגבי נגזרות מסדר כללי? לדוגמה, באיזו פונקציה הנגזרת השלישית שווה לפונקציה המקורית? (כאשר הנגזרת הראשונה והשנייה שונות כמובן מהפונקציה המקורית). [[משתמש:אורי אבן-חן|אורי אבן-חן]] - [[שיחת משתמש:אורי אבן-חן|שיחה]] 02:27, 12 בספטמבר 2010 (IST)
: לכל משוואה דיפרנציאלית מהצורה <div style="direction: ltr;"> <math> f(x) = f^{(n)}(x)</math></div>
יש פתרון כמובן, אני רק לא יודע אם הוא תמיד אנליטי. לדוגמה ששאלת, (נגזרת שלישית שווה לפונקציה המקורית, אבל הנגזרות הראשונה והשניה לא) יש שני פתרונות:
* <math> f(x)=e^{-\frac{x}{2}}sin(\frac{\sqrt3}{2}x)</math>
* <math> f(x)=e^{-\frac{x}{2}}cos(\frac{\sqrt3}{2}x)</math>
במקרה של הנגזרת השניה הפונקציות ההיפרבוליות הן אכן הפתרונות. [[משתמש:Easy n|Easy n]] - [[שיחת משתמש:Easy n|שיחה]] 13:22, 12 בספטמבר 2010 (IST)
== תרמודינמיקה בחיי היום-יום ==
| |||