מודל איזינג – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ ←פתרון המודל: תקלדה |
מ הגהה |
||
שורה 1:
'''מודל איזינג''' הוא [[מודל מתמטי]] ב[[מכניקה סטטיסטית]], המשמש לתיאור [[מגנט|פרומגנט]], או כל מערכת שקולה של יחידות הנמצאות ב[[סריג (גאומטריה)|סריג]] ומבצעות [[אינטרקציית שכנים קרובים]]
המודל נקרא על שם ה[[פיזיקאי]] הגרמני [[ארנסט איזינג]] (1900 - 1998). לעתים מבוטא השם "אייזינג".
שורה 15:
===האינטראקציה===
[[המילטוניאן]] האינטראקציה במודל איזינג
:<math> \mathcal{H} =-g \sum_{<i,j>} {S_i}{S_j} </math>.
כאשר g הוא קבוע בעל יחידות אנרגיה הנקרא "אנרגיית הקשר". הסכימה היא על כל השכנים j הסמוכים לספין i
מהתבוננות בהמילטוניאן, רואים שערך [[אנרגיית הקשר]] בין שני ספינים סמוכים הוא בינארי- אם שני הספינים מצביעים באותו כיוון אנרגיית הקשר היא g - ואם הם מצביעים בכיוונים מנוגדים אנרגיית הקשר g +
מכאן, בהכרח קיים מספר סופי של מצבי אנרגיה עבור ספין מסוים ושכניו הקרובים. לדוגמה, עבור ספין בסריג דו-ממדי ריבועי (בו ישנם ארבע שכנים קרובים), ייתכנו רק 5 ערכי אנרגיה
לעובדה זו חשיבות מכרעת לפתרון המודל. בתוספת שדה מגנטי חיצוני, מתווסף לאנרגיה איבר
למערכת (דו ממדית ומעלה) בעלת אינטראקציה כזו יהיה [[מעבר פאזה]] יחיד מסדר שני, מפאזה לא-סדורה לפאזה סדורה, בטמפרטורה קריטית מסוימת. מעבר שכזה לווה בהתבדרות של [[חום סגולי|החום הסגולי]] (או מקסימום חד, במערכת סופית).
מודל איזינג הדו ממדי נפתר באופן אנליטי בסביבות הנקודה הקריטית של [[מעבר פאזה]] על ידי [[לארס אונסגר]] בשנת 1944.
המודל התלת ממדי לא נפתר אנליטית, אולם קיים מגוון רחב של שיטות לפתרונו באופן נומרי, ולעיבוד התוצאות עבור גבישים בגודל סופי לקבלת תוצאות בגבול התרמודינמי.
פתרון נומרי של משוואות התנועה אינו ישים, בשל הדרישה (ממשוואות המילטון) לפתרון
בהתאם, מרבית השיטות הנומריות משתמשות בסימולציה סטטיסטית ([[שיטת מונטה-קרלו]] המחולקת לצעדי זמן, שבה לכל ספין בצעד זמן נתון ישנו סיכוי לשנות את מצבו, כאשר ההסתברות לעבור למצב כלשהו (מבין שני המצבים האפשריים) נקבעת לפי האנרגיה שתהיה לספין ולשכניו במצב זה.
מאחר שמספר החלקיקים במערכת כזו קבוע, [[התפלגות בולצמן]] מתארת בצורה טובה את הסתברות המעבר למצב חדש עם אנרגיה נתונה. מאחר שמספר מצבי האנרגיה האפשריים הוא סופי, ניתן לבנות בהתאם להתפלגות טבלה של הסתברויות מעבר כתלות במצב השכנים של ספין מסוים. באופן זה, לכל ספין נדרשת הגרלה של מספר אקראי יחיד, כך שהסימולציה אינה יקרה בזמן מעבד. ניתן לחסוך זמן מעבד נוסף על ידי היפוך של קבוצות ספינים שאין ביניהם אינטראקציה באופן סימולטני.
באופן זה ניתן לפתור ולקבל את הגדלים התרמודינמיים המקרוסקופיים של מערכת סופית כזו, כגון [[פוטנציאלים תרמודינמיים|אנרגיה חופשית]], [[קיבול חום סגולי]] ו[[מגנטיזציה]], כתלות בטמפרטורה ובשדה המגנטי החיצוני. מגדלים אלו ניתן למצוא את
גדלים אלו שונים מהותית מהגדלים עבור סריג אינסופי, אולם ניתן למצוא את הגדלים בגבול האינסופי על ידי ביצוע סימולציות רבות בגדלי סריג משתנים, וידיעה של התנהגות גדלים אלו כתלות בגודל הסריג (תהליך זה נקרא finite size scaling).
מודל איזינג הוא מודל פשטני ביותר לתיאור פרומגנט. קיימים מודלים רבים ומורכבים יותר, אשר בהם לספינים רמות חופש נוספות, החל ממספר מצבים גדול יותר מ-2 ([[מודל פוץ]]) וכלה בחופש מרחבי מוחלט ([[מודל הייזנברג]]).
בשל אופיו הבינארי הפשוט, מודל איזינג הוא שיטה נוחה לפתרון [[אופטימיזציה (מתמטיקה)|בעיות אופטימיזציה]].
| |||