הבדלים בין גרסאות בדף "משפט האינטגרל של קושי"

עריכה
(עריכה)
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט אינטגרלהאינטגרל של קושי''' הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב [[אינטגרל קווי]] של [[פונקציה|פונקציות]] [[פונקציה מרוכבת|מרוכבות]] [[פונקציה הולומורפית|הולומורפיות]]. בבסיסו, המשפט אומר כי אינטגרל קווי של פונקציה עלשלאורך מסלול סגור שווה לאפס אם הפונקציה רציפה על המסלול והולומורפית ב[[ציקלוס]] ו[[הומולוגי לאפס]] (נקראכגון גםהשפה של [[תחום קושיפשוט קשר]]), (ובפרטהאינטגרל בתחוםשל שסגורכל עלפונקציה ידישהיא המסלול,הולומורפית אםבתחום תחוםשהמסלול זהסוגר הואורציפה [[תחוםעל פשוט קשר|פשוט קשר]]השפה, כלומרשווה אין בו "חורים")לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.
 
בין התוצאות של משפטלמשפט זה ניתן למנות תוצאות חשובות רבות, כגון [[נוסחת האינטגרל של קושי]], [[משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)|משפט ליוביל]], [[המשפט היסודי של האלגברה]], [[משפט השאריות|משפט השארית]] ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן [[פונקציה אנליטית|אנליטיות]] - כלומר, ניתן לפתח אותן ל[[טור טיילור]].
 
==ניסוח פורמלי==
 
יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> [[תחום קושי]] כך ש-שהשפה <math>\ \partial U</math> הואהיא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות, וכן תהיותהי <math>\ f(z):\bar{U}\rarr\mathbb{C}</math> פונקציה רציפה על <math>\ \partial U</math> והולומורפית ב-<math>\ U</math>. אזיאז האינטגרל המסילתי <math>\oint_{\partial U} f(z)\,dz = 0 </math>, כאשר הכוונה היא כי האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.
 
באופןהמשפט תמציתינובע יותרמן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי <math>\ f</math> הולומורפית ב- <math>\ D</math> ו- <math>\ \Delta</math> משולש המוכל עם פנימו ב- <math>\ D</math>. אז <math>\ \oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz = 0</math>.
 
== הוכחה ==
[[תמונה:triangle-cauchy.jpg|שמאל|ממוזער|250px]]
 
תחילה, נניח <math>\ \left| \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz \right| = S > 0</math>. לכן, <math>\ \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^4 \oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz </math>, ו-<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz\right| \le \sum_{k=1}^4 \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz \right| </math>. לכן <math>\ S \le\sum_{k=1}^4\left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| </math>,
ויש <math>\ 1\le k_0\le 4</math> כך ש- <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4}</math>.
 
נסמן <math>\ \Delta_{k_0}^{(1)}=\Delta_1</math>. נמשיך כך ונקבל סדרת משולשים <math>\ \Delta_0 \supset \Delta_1 \supset \Delta_2 \supset ... \supset \Delta_n</math> , כאשר <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4^n}</math>. לפי [[הלמה של קנטור]],
ולכן, <math>\ \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^4 \oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz </math>
<math>\ \bigcap_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \left\{z_0\right\}</math>. הנחנו ש-<math>\ f</math> הולומורפית ב- <math>\ z_0</math>, ולכן <math>\ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)</math>, ו-<math>\ \lim_{z\rightarrow z_0}\varepsilon(z)= 0</math>. נביט באורכי המסילות: <math>\ l(\Delta_0)=l\ ,\ l(\Delta_1)=\frac{l}{2}\ ,\ ... \ l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n} </math>, כלומר, עבור <math>\ z \in \partial \Delta_n</math>,
<math>\ \left| z-z_0\right|<l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n}</math>. מכאן ש-<math>\ \frac{S}{4^n}\le\left|\oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz \right| = \left| \oint_{\partial \Delta_n}\big[f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\big]\, dz\right| = (*) </math>.
 
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: <math>\ \ (zf(z_0))'=f(z_0)\ ,\ \left(\frac{f'(z_0)(z-z_0)^2}{2}\right)'=f'(z_0)(z-z_0)\ </math>. ניתן לראות כי יששיש להם פונקציה קדומה, שהיא שאנליטיתאנליטית בכל <math>\ \mathbb{C}</math>, בפרט ב- <math>\ D</math>, ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי [[משפט אינטגרל קושי]]. נמשיך:לכן גם <math>\ (*)=\left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|</math>.
<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz\right| \le \sum_{k=1}^4 \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz \right| </math>
 
לפי הגדרת האינטגרל, אם <math>\ \gamma</math> מסילה חלקה למקוטעין ו-<math>\ f</math> רציפה על <math>\ \gamma</math>, אז <math>\ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma )</math>, כאשר <math>\ M=max\left|f(z)\right|</math> על <math>\ \gamma</math> ו- <math>\ l(\gamma)</math> הוא האורך של <math>\ \gamma</math>. לכן: <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>. מכאן נובע: <math>\ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>, ו-<math>\ S\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2</math>. אבל <math>\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0</math> וזו סתירה להנחה, כלומר <math>\ S=0</math> ולכן <math>\ \oint_Tf(z)\, dz = 0</math>.
 
לכן <math>\ S \le\sum_{k=1}^4\left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| </math>
ויש <math>\ 1\le k_0\le 4</math> כך ש- <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4}</math>
 
נסמן <math>\ \Delta_{k_0}^{(1)}=\Delta_1</math>. נמשיך כך ונקבל <math>\ \Delta_0 \supset \Delta_1 \supset \Delta_2 \supset ... \supset \Delta_n</math> , <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4^n}</math>
 
לפי למת קנטור, <math>\ \bigcap_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \left\{z_0\right\}</math>.
 
<math>\ f</math> הולומורפית ב- <math>\ z_0</math> ולכן:
 
<math>\ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)</math>
 
<math>\ \lim_{z\rightarrow z_0}\varepsilon(z)= 0</math>
 
נביט באורכי המסילות:
<math>\ l(\Delta_0)=l\ ,\ l(\Delta_1)=\frac{l}{2}\ ,\ ... \ l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n} </math>
 
עבור <math>\ z \in \partial \Delta_n</math> , <math>\ \left| z-z_0\right|<l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n}</math>
 
<math>\ \frac{S}{4^n}\le\left|\oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz \right| = \left| \oint_{\partial \Delta_n}\big[f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\big]\, dz\right| = (*) </math>
 
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: <math>\ \ (zf(z_0))'=f(z_0)\ ,\ \left(\frac{f'(z_0)(z-z_0)^2}{2}\right)'=f'(z_0)(z-z_0)\ </math> ניתן לראות כי יש להם פונקציה קדומה שאנליטית בכל <math>\ \mathbb{C}</math>, בפרט ב- <math>\ D</math> ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי [[משפט אינטגרל קושי]]. נמשיך:
 
<math>\ (*)=\left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|</math>
 
עכשיו ניתן להוכיח כי אם <math>\ \gamma</math> מסילה חלקה למקוטעין ו-<math>\ f</math> רציפה על <math>\ \gamma</math> אז <math>\ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma )</math> כאשר <math>\ M=max\left|f(z)\right|</math> על <math>\ \gamma</math> ו- <math>\ l(\gamma)</math> הוא האורך של <math>\ \gamma</math>. לכן:
 
<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>
 
מכאן נובע: <math>\ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>
 
<math>\ S\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2</math>
 
אבל <math>\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0</math> וזו סתירה להנחה, כלומר <math>\ S=0</math> ולכן <math>\ \oint_Tf(z)\, dz = 0</math>.
 
{{אנליזה מרוכבת}}