משפט האינטגרל של קושי – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ משפט אינטגרל קושי הועבר למשפט האינטגרל של קושי: תרגמת |
עריכה |
||
שורה 1:
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט
==ניסוח פורמלי==
יהא <math>\ U\subset\mathbb{C}</math> [[תחום קושי]] כך
== הוכחה ==
שורה 13:
[[תמונה:triangle-cauchy.jpg|שמאל|ממוזער|250px]]
תחילה, נניח <math>\ \left| \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz \right| = S > 0</math>. לכן, <math>\ \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^4 \oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz </math>, ו-<math>\ \left|\oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz\right| \le \sum_{k=1}^4 \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz \right| </math>. לכן <math>\ S \le\sum_{k=1}^4\left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| </math>,
ויש <math>\ 1\le k_0\le 4</math> כך ש- <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4}</math>.▼
נסמן <math>\ \Delta_{k_0}^{(1)}=\Delta_1</math>. נמשיך כך ונקבל סדרת משולשים <math>\ \Delta_0 \supset \Delta_1 \supset \Delta_2 \supset ... \supset \Delta_n</math>
<math>\ \bigcap_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \left\{z_0\right\}</math>. הנחנו ש-<math>\ f</math> הולומורפית ב- <math>\ z_0</math>, ולכן <math>\ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)</math>, ו-<math>\ \lim_{z\rightarrow z_0}\varepsilon(z)= 0</math>. נביט באורכי המסילות: <math>\ l(\Delta_0)=l\ ,\ l(\Delta_1)=\frac{l}{2}\ ,\ ... \ l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n} </math>, כלומר, עבור <math>\ z \in \partial \Delta_n</math>,
<math>\ \left| z-z_0\right|<l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n}</math>. מכאן ש-<math>\ \frac{S}{4^n}\le\left|\oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz \right| = \left| \oint_{\partial \Delta_n}\big[f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\big]\, dz\right| = (*) </math>.▼
עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: <math>\ \ (zf(z_0))'=f(z_0)\ ,\ \left(\frac{f'(z_0)(z-z_0)^2}{2}\right)'=f'(z_0)(z-z_0)\ </math>. ניתן לראות
לפי הגדרת האינטגרל, אם <math>\ \gamma</math> מסילה חלקה למקוטעין ו-<math>\ f</math> רציפה על <math>\ \gamma</math>, אז <math>\ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma )</math>, כאשר <math>\ M=max\left|f(z)\right|</math> על <math>\ \gamma</math> ו- <math>\ l(\gamma)</math> הוא האורך של <math>\ \gamma</math>. לכן: <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>. מכאן נובע: <math>\ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}</math>, ו-<math>\ S\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2</math>. אבל <math>\ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0</math> וזו סתירה להנחה, כלומר <math>\ S=0</math> ולכן <math>\ \oint_Tf(z)\, dz = 0</math>.
▲ויש <math>\ 1\le k_0\le 4</math> כך ש- <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4}</math>
▲נסמן <math>\ \Delta_{k_0}^{(1)}=\Delta_1</math>. נמשיך כך ונקבל <math>\ \Delta_0 \supset \Delta_1 \supset \Delta_2 \supset ... \supset \Delta_n</math> , <math>\ \left|\oint_{\partial \Delta_n}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4^n}</math>
▲<math>\ \frac{S}{4^n}\le\left|\oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz \right| = \left| \oint_{\partial \Delta_n}\big[f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\big]\, dz\right| = (*) </math>
▲עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: <math>\ \ (zf(z_0))'=f(z_0)\ ,\ \left(\frac{f'(z_0)(z-z_0)^2}{2}\right)'=f'(z_0)(z-z_0)\ </math> ניתן לראות כי יש להם פונקציה קדומה שאנליטית בכל <math>\ \mathbb{C}</math>, בפרט ב- <math>\ D</math> ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי [[משפט אינטגרל קושי]]. נמשיך:
{{אנליזה מרוכבת}}
| |||