פתיחת התפריט הראשי

משפט האינטגרל של קושי

(הופנה מהדף משפט אינטגרל קושי)

באנליזה מרוכבת, משפט האינטגרל של קושי-גורסה (ע"ש אוגוסטין קושי ואדוארד גורסה) הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר שלאורך מסלול סגור והומולוגי לאפס (כגון השפה של תחום פשוט קשר), האינטגרל של כל פונקציה שהיא הולומורפית בתחום שהמסלול סוגר ורציפה על השפה, שווה לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.

למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות - כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור.

ניסוח פורמליעריכה

יהא   תחום קושי כך שהשפה   היא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות, ותהי   פונקציה רציפה על   והולומורפית ב- . אז האינטגרל המסילתי  , כאשר האינטגרל על שפת התחום הוא סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.

המשפט נובע מן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי   הולומורפית ב-   ו-   משולש המוכל עם פנימו ב-  . אז  .

הוכחהעריכה

תחילה, נניח  . לכן,  , ו- . לכן  , ויש   כך ש-  .

נסמן  . נמשיך כך ונקבל סדרת משולשים  , כאשר  . לפי הלמה של קנטור,  . הנחנו ש-  הולומורפית ב-  , ולכן  , ו- . נביט באורכי המסילות:  , כלומר, עבור  ,  . מכאן ש- .

עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים:  . ניתן לראות שיש להם פונקציה קדומה, שהיא אנליטית בכל  , בפרט ב-  , ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. לכן גם  .

לפי הגדרת האינטגרל, אם   מסילה חלקה למקוטעין ו-  רציפה על  , אז  , כאשר   על   ו-   הוא האורך של  . לכן:  . מכאן נובע:  , ו- . אבל   וזו סתירה להנחה, כלומר   ולכן  .


קישורים חיצונייםעריכה