לוקליזציה (תורת החוגים)

בתורת החוגים, לוקליזציה (לעיתים רחוקות מכונה בעברית מיקום) היא שיטה להוספת איברים הפיכים לחוג. בהינתן חוג $R$ ותת קבוצה של איברי החוג, $S$, רוצים לבנות חוג חדש $R^{*}$ והעתקת חוגים מ-$R$ ל-$R^{*}$ כך שכל אחד מאיברי $S$ יעבור תחת תמונת העתקה זו לאיבר הפיך ב-$R^{*}$. יתר על כן, דורשים כי $R^{*}$ יהיה החוג ה"כללי ביותר" המקיים תכונה זאת. בשפה של תורת הקטגוריות אומרים ש-*R הוא פתרון לבעיה אוניברסלית מתאימה. לוקליזציה כזו נהוג לסמן על ידי $\,S^{-1}R$, או אם $\,S=R-{\mathfrak {p}}$, כאשר ${\mathfrak {p}}$ הוא אידיאל ראשוני, על ידי $\,R_{\mathfrak {p}}$.

בנייה עבור חוגים קומוטטיביים

יהי $R$ חוג קומוטטיבי, ותהי תת-קבוצה $S$ ללא האפס וסגורה כפלית, כלומר, אם $a,b\in S$ אז $a\cdot b\in S$, וכמו כן נניח כי $\,1\in S$. על הקבוצה $\,R\times S$ נחשוב כעל קבוצת שברים $\,{\frac {r}{s}}$. נגדיר יחס שקילות על קבוצה זו, על ידי $(r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})$ אם קיים $\,t\in S$ כך ש $\,t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0\in R$. אם R תחום שלמות דרישה זו שקולה ל- $\,r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0$, בדיוק כמו בשוויון של שברים רגילים. איבר האפס בחוג יהיה ${\frac {0}{1}}$ ואיבר היחידה יהיה ${\frac {1}{1}}$. (חוגים בלי יחידה, ניתן להגדיר את היחידה והאפס למשל כך - ${\frac {0}{s}},{\frac {s}{s}}$, עם $s\in S$).

על קבוצת המנה $\,R\times S/\sim$ נגדיר פעולות חיבור וכפל על ידי:

$\,{\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}}\qquad \qquad {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\cdot {\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}}$.

על ידי חישוב ניתן לוודא שבדרך זו, קבוצת המנה, המסומנת ב $\,S^{-1}R$ מקבלת מבנה של חוג, הנקרא הלוקליזציה של $S$.

ההעתקה $\phi \colon R\to S^{-1}R$ הנתונה על ידי $\phi (r)={\frac {r}{1}}$ היא הומומורפיזם של חוגים, השולח כל איבר ב-S לאיבר הפיך.

כלליות ומינימליות

אחת התכונות המעניינות של החוג שהוגדר היא שהוא החוג ה'מינימלי' בעל תכונת ההפיכות. כלומר, אם קיים חוג $R'$ אחר עם מונומורפיזם $\varphi :R\rightarrow R'$ וכך שתמונות איברי $S$ הפיכים ב $R'$, אז בהכרח קיים מונומורפיזם $\psi :{S}^{-1}R\rightarrow R'$. כך ש- $\varphi =\psi \circ \phi$, כאשר $\phi$ הוגדרה לעיל.

הוכחה: נגדיר ישירות את $\psi :{S}^{-1}R\rightarrow R'$ על פי הכלל: $\psi \left({\frac {r}{s}}\right)=\varphi (r)\varphi (s)^{-1}$. קל לבדוק כי הוא מוגדר היטב, מהווה מונומורפיזם חוגים, והדיאגרמה אכן קומוטטיבית - $\psi \circ \phi (r)=\psi (\phi (r))=\psi \left({\frac {r}{1}}\right)=\varphi (r){\varphi (1)}^{-1}=\varphi (r)$.

פירוש הטענה הוא שאם כבר הגענו ל"הרחבה" של החוג בה איברי S הפיכים, אז בהכרח עברנו בדרך בחוג השברים ${S}^{-1}R$. יחס זה מאפשר ליצור דיאגרמה קומוטטיבית בין החוגים $R,{S}^{-1}R,R'$, ולמעשה אומר שבנינו הוא אובייקט אוניברסלי, ולכן גם יחיד עד כדי איזומורפיזם.

מבנה כחוג

הלוקליזציה מקבלת בירושה תכונות של חוג הבסיס.

ראשית, אם $I\leq R$ אידיאל, גם $S^{-1}I\leq S^{-1}R$ אידיאל. בכיוון ההפוך, אם $J\leq S^{-1}R$ אידיאל, אז $J=S^{-1}A$ עבור $A=\left\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\right\}$. כלומר, יש התאמה בין אידיאלים של החוג לאידיאלים של הלוקליזציה. למעשה, ההתאמה חזקה יותר - נשים לב שאם $I\leq R$ אידיאל ו-$S\cap I\neq \phi$, אז $S^{-1}I=S^{-1}R$ (כי יש בו איבר הפיך).

אם $R$ חוג נותרי או ארטיני, כך גם $S^{-1}R$.

ישנה גם התאמה מלאה בין הספקטרום של חוג לזה של הלוקליזציה שלו - מתקיים $J\in \operatorname {Spec} (S^{-1}R)$ אם ורק אם $A=\left\{a\in R:{\frac {a}{1}}\in J\right\}\in \operatorname {Spec} (R)$. אם נשכח מכל האידיאלים שחותכים את $S$, נקבל שיש התאמה חד-חד-ערכית $\{A\in \operatorname {Spec} (R):A\cap S=\phi \}\leftrightarrow \operatorname {Spec} (S^{-1}R)$.

התוצאה החשובה ביותר היא שהחוג $S^{-1}R$ הוא חוג מקומי - חוג בו יש אידיאל מקסימלי יחיד. במקרה הזה, קבוצת כל האיברים הלא הפיכים מהווה אידיאל מקסימלי יחיד. לכן גם סכום של אי-הפיכים הוא לא הפיך.

במקרה שבו $S=R-{\mathfrak {p}}$ עם אידיאל ראשוני ${\mathfrak {p}}$, מתקבל החוג $R_{\mathfrak {p}}=(R-{\mathfrak {p}})^{-1}R$. האידיאל המקסימלי הוא ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=S^{-1}{\mathfrak {p}}$.

דוגמאות

• יהי $R$ תחום שלמות, ותהי $\,S=R-\{0\}$. במקרה זה $\,S^{-1}R$ הוא שדה השברים של R.
• אם $R$ תחום שלמות עם יחידה, אז שדה השברים של $R[x]$ (חוג הפולינומים) מכיל עותק של ${(R-\{0\})}^{-1}R$, ושווה לשדה השברים של $({(R-\{0\})}^{-1}R)[x]$.
• אם $R=\mathbb {Z}$ ו-$S=\mathbb {Z} -p\mathbb {Z}$ כאשר $p$ ראשוני, נקבל כי $S^{-1}R=\left\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b\right\}$, והאידיאל המקסימלי שלו הוא ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\left\{{\frac {a}{b}}:p\nmid b,p\mid a\right\}$.
• אם $R$ חוג שלם מעל $C$ (כלומר, כל איבר של $R$ הוא שורש של פולינום מתוקן עם מקדמים מ-$C$) אז $S^{-1}R$ שלם מעל $S^{-1}C$ לכל $S\subseteq C$ כנ"ל.

ראו גם

• חוג השברים הקלאסי
• תנאי אור
• חוג מקומי

קישורים חיצוניים

• לוקליזציה, באתר MathWorld (באנגלית)