מספר לבג

מונח מתחום הטופולוגיה


שגיאות פרמטריות בתבנית:מקורות

פרמטרי חובה [ נושא ] חסרים

ערך מחפש מקורות
רובו של ערך זה אינו כולל מקורות או הערות שוליים, וככל הנראה, הקיימים אינם מספקים.

אנא עזרו לשפר את אמינות הערך באמצעות הבאת מקורות לדברים ושילובם בגוף הערך בצורת קישורים חיצוניים והערות שוליים.
אם אתם סבורים כי ניתן להסיר את התבנית, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

בטופולוגיה, מספר לֶבֶּג של כיסוי פתוח של קבוצה במרחב מטרי, הוא המספר δ הגדול ביותר שכל תת-קבוצה שלה שקוטרה קטן ממנו, מוכלת באחד ממרכיבי הכיסוי. לפי הלמה של לבג, לכל כיסוי פתוח של קבוצה קומפקטית יש מספר לבג חיובי ממש. את הלמה הוכיח המתמטיקאי אנרי לבג.

הוכחהעריכה

תהא   קבוצה קומפקטית במרחב מטרי, ויהא   כיסוי פתוח של  . מהקומפקטיות נובע שקיים תת-כיסוי סופי. נסמן אותו ב- . לכל  , נגדיר  ; אלו קבוצות סגורות. נגדיר פונקציה   לפי הנוסחה   (כאן d מסמן את המרחק בין הנקודה לקבוצה. מרחק זה יכול גם להיות 0).

כיוון ש-  הוא כיסוי, לכל נקודה   יש אינדקס i כך ש  . כיוון ש  קבוצה פתוחה, הרי שקיים ε > 0 כך שה־ε-סביבה של   מוכלת ב  , ואז  . בפרט, הפונקציה   לעולם אינה מתאפסת. אבל זוהי פונקציה רציפה על קבוצה קומפקטית, ולכן היא מקבלת שם מינימום. מינימום זה הוא חסם תחתון למספר לבג של הכיסוי.