מערכת סביבות

אוסף כל הסביבות במרחב טופולוגי של נקודה מסוימת

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

בטופולוגיה, מערכת סביבות היא קבוצת כל הסביבות של נקודה מסוימת במרחב טופולוגי. מערכת הסביבות מאפשרת לתאר את מבנה המרחב בסביבת נקודה כלשהי.

הגדרות מתמטיות עריכה

סביבה עריכה

עבור מרחב טופולוגי  , נקודה   ו- , הקבוצה   תקרא סביבה של   אם ורק אם קיימת קבוצה פתוחה   כך ש- . אם בנוסף   היא קבוצה פתוחה בעצמה,   תקרא סביבה פתוחה של  .[1]

מערכת סביבות עריכה

עבור מרחב טופולוגי   ונקודה   ניתן להגדיר:

 

כלומר,   היא קבוצת כל הסביבות של   ונקראת מערכת הסביבות של  .[2]

בסיס מקומי עריכה

עבור מרחב טופולוגי  , נקודה   וקבוצה  , הקבוצה   תקרא בסיס מקומי של   אם ורק אם לכל   קיים   כך ש- .[3]

מסנן סביבות עריכה

כל מערכת סביבות של נקודה כלשהי מהווה מסנן לפי היחס  , ובפרט בסיס מקומי מהווה גם בסיס של המסנן לפי הגדרה.

הוכחה עריכה

על מנת להוכיח כי מערכת הסביבות היא מסנן יש להוכיח כי מתקיימות שלוש תכונות:

ראשית,   מכיוון שהמרחב כולו מהווה קבוצה פתוחה ומכיל את  .

שנית, יש להוכיח כי אם   ו-  אז בהכרח  . מאחר ש-  היא סביבה של   קיימת קבוצה פתוחה   כך ש- . מאחר ש-  מתקיים   משמע   היא סביבה של   ו- .

לבסוף, יש להוכיח כי לכל   מתקיים  . מאחר ש-  שתיהן סביבות פתוחות של   קיימות זוג קבוצות פתוחות   כך ש-  ו- . מובן מכך כי   וכי   קבוצה פתוחה (חיתוך שתי קבוצות פתוחות הוא קבוצה פתוחה), על כן   היא סביבה של   ו-  .

מ.ש.ל.

שימושים עריכה

בעזרת מערכת סביבות של נקודה ובפרט בסיס מקומי ניתן לתאר את מבנה המרחב בנקודה הנתונה. כך למשל, מרחב קמור מקומית בנקודה כלשהי הוא מרחב שבו קיים לנקודה זו בסיס מקומי המורכב מקבוצות קמורות. באופן דומה ניתן להוכיח כי מרחב וקטורי טופולוגי בעל בסיס מקומי בן-בניה הוא מרחב מטריזבילי.[4]

יתרה מכך, עבור חבורות טופולוגיות (ומרחבים וקטורים טופולוגיים בפרט) ניתן ליצור בסיס למרחב כולו באמצעות בסיס מקומי באיבר היחידה (בראשית עבור מרחבים וקטורים טופולוגיים) ופעולות הזזה.

דוגמאות עריכה

  • עבור מרחב מטרי שלם   עם המטריקה   ונקודה  , קבוצות כל הכדורים הפתוחים סביב   מהווה בסיס מקומי של  . יתרה מכך, בהינתן סדרת רדיוסים חיוביים   כך ש-  קבוצת כל הכדורים הפתוחים סביב   בעלי רדיוסים אלו מהווה בסיס מקומי של  .
  • עבור מרחב   עם הטופולוגיה הטריוויאלית ונקודה  , מערכת הסביבות של   תהיה קבוצה של תת-הקבוצות של   אשר מכילות את  .

קישורים חיצוניים עריכה

הערות שוליים עריכה

  1. ^ Neighborhood of a Point | eMathZone, ‏2014-08-03 (באנגלית)
  2. ^ Bert Mendelson, Introduction to topology, 3. ed., [Nachdr.], Mineola, NY: Dover Publ, 2009, Dover books on mathematics, ISBN 978-0-486-66352-4
  3. ^ Stephen Willard, General topology, Reading/Mass.: Addison-Wesley, 1970, Addison-Wesley series in mathematics, ISBN 978-0-201-08707-9
  4. ^ Raz Kupferman, Topological vector spaces, The Hebrew University, ‏2014-09-29 (באנגלית)