מרחב אורכים

בטופולוגיה, מרחב מטרי נקרא מרחב אורכים אם אפשר לקרב בו את המרחקים על ידי מסילות. מרחב אורכים נקרא גם מרחב מטרי פנימי (intrinsic).

מרחב אורכים שבו כל מרחק מתקבל על ידי מסילה נקרא מרחב גאודזי, או מרחב מטרי פנימי בחזקה (strongly intrinsic).

אפיון פנימי

מרחב מטרי (X,d) הוא מרחב אורכים אם ורק אם לכל a,b ולכל $\epsilon >0$ יש מסילה מ-a ל-b שארכה קטן מ-$d(a,b)+\epsilon$.

נקודה x המקיימת $|d(a,x)-d(x,b)|\leq \epsilon$ נקראת נקודת $\epsilon$-אמצע של a,b; ונקודת-אמצע אם $d(a,x)=d(x,b)$. מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת אמצע לכל a,b, הוא גאודזי. מרחב מטרי שלם שיש בו נקודת $\epsilon$-אמצע לכל $\epsilon >0$ ולכל a,b הוא מרחב אורכים.

משפט Hopf-Rinow קובע כי מרחב אורכים קומפקטי מקומית שלם הוא קומפקטי בחסימות (כלומר, כל קבוצה סגורה וחסומה היא קומפקטית). מרחב אורכים קומפקטי מקומית וקומפקטי בחסימות הוא מרחב גאודזי.

מרחב האורכים של מרחב מטרי

בכל מרחב מטרי קשיר מסילתית אפשר להגדיר מטריקת אורכים, בתור האינפימום של אורכי כל המסילות בין הנקודות. המרחב המתקבל הוא מרחב אורכים, שהמרחקים שלו חסומים מלמטה על ידי המטריקה המקורית. בניה זו היא אידמפוטנטית: מטריקת האורכים של מטריקת אורכים שווה לעצמה.

ראו גם

• מרחב גאודזי

מקורות

• A Course in Metric Geometry, Burago, Burago and Ivanov, 2001.