מרחב CAT(0)‎

במתמטיקה, מרחב CAT(0)‎ הוא מרחב מטרי שהמשולשים שלו "דקים" כמו המשולשים במישור האוקלידי, או יותר. המרחב האוקלידי, בכל ממד, הוא מרחב CAT(0)‎. למרחבים כאלה יש עקמומיות 0 לכל היותר, בכל נקודה, והם תמיד כוויצים.

ראו גם מרחב (CAT(k, למושג הכללי יותר.

הגדרה

משולש גאודזי במרחב גאודזי X מקיים את "תנאי $\ {\mbox{CAT}}(0)$", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות שלו קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש במישור האוקלידי, בעל אותם ארכי צלעות.

כל מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$, עם k שלילי, הוא $\ {\mbox{CAT}}(0)$; וכל מרחב $\ {\mbox{CAT}}(0)$ הוא מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$ לכל k חיובי.

מרחבי הדמר

מרחב $\ {\mbox{CAT}}(0)$ שלם נקרא מרחב הדמר. התכונה הבולטת של מרחבי הדמר היא שפונקציות המרחק שלהם קמורות: אם $\ \gamma _{1},\gamma _{2}:[a,b]\rightarrow X$ הן שתי מסילות גאודזיות, אז הפונקציה $\ f(t)=d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))$ קמורה כפונקציה של t. (ראו גם משפט קרטן-הדמר).

תכונות

לתכונות מקומיות ראו מרחב (CAT(k.

מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב $\ {\mbox{CAT}}(0)$ הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות.

מרחב $\ {\mbox{CAT}}(0)$ הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{2}$ (עם המטריקה הרגילה).

חבורות CAT(0)‎

חבורה הפועלת באופן איזומטרי וקו-קומפקטי על מרחב $\ {\mbox{CAT}}(0)$ הגון (כזה שבו כל הכדורים הסגורים קומפקטיים) נקראת "חבורת $\ {\mbox{CAT}}(0)$". חבורה כזו היא מוצגת סופית, ויש בה פתרון לבעיית המלה ובעיית ההצמדה. יש בה מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות. כל תת-חבורה פתירה של חבורת $\ {\mbox{CAT}}(0)$ היא דמוית-$\ \mathbb {Z} ^{n}$.

מכפלה ישרה של חבורות $\ {\mbox{CAT}}(0)$ היא חבורת $\ {\mbox{CAT}}(0)$. מכפלה חופשית של שתי חבורות $\ {\mbox{CAT}}(0)$ עם התכה לאורך תת-חבורות שהן דמויות-$\ \mathbb {Z}$, היא $\ {\mbox{CAT}}(0)$. הרחבת HNN של חבורת $\ {\mbox{CAT}}(0)$ ביחס לחבורה סופית, היא $\ {\mbox{CAT}}(0)$.

חבורות קוקסטר הן $\ {\mbox{CAT}}(0)$.

ראו גם

• מרחב (CAT(k