מרחב (CAT(k

במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T).

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי אפשר לכייל למרחבי אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר.

הגדרותעריכה

מרחבי המודלעריכה

עבור מספר ממשי k, מסמנים ב-   את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה,   הוא המישור האוקלידי   עם המטריקה הרגילה שלו;   הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו-   הוא המישור ההיפרבולי.

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא   (אחרת הקוטר אינסופי).

משולשי השוואהעריכה

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על  . אז קיים ב-  משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.

תנאי  עריכה

 
משולשים טיפוסיים במרחבים בעלי עקמומיות חיובית (למעלה) ,שלילית (באמצע) ואפס (למטה)

נניח ש-  הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה  , כאשר   הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים   לכל  ). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי  ", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב  .

המרחב X נקרא מרחב  , אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על  ), מקיים את תנאי  . אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי  . מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית".

התנאי   הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם  , אז כל מרחב   הוא גם מרחב  . מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא   לכל  , הוא גם  .

דוגמאותעריכה

המרחב   הוא  .

המרחב האוקלידי   (מכל ממד) הוא  . המרחב ההיפרבולי   (מכל ממד) הוא  . ספירת היחידה   (בכל ממד) היא   (אבל לא  ). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות  ) היא  . כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי   הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו  . מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא  , ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב   לכל k.

כל מרחב  , עבור k<0, הוא מרחב  . בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

תכונות של מרחבי עריכה

יהי X מרחב  .

תכונות מקומיותעריכה

  • בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על   אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
  • כל עקום (שאורכו אינו עולה על   אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
  • כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על   אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
  • כדורים (שרדיוסם אינו עולה על   אם k>0) הם כוויצים.
  • נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על   אם k>0) ולכל   קיים  , כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על  , נמצאת במרחק   לכל היותר מ-m.

מרחב הכיסוי האוניברסליעריכה

  • מתכונות אלה נובע שאם  , מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב   הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות   מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב  .

היפרבוליותעריכה

כל מרחב   (עבור  ) הוא מרחב היפרבולי. מרחב   הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי   (עם המטריקה הרגילה).

ראו גםעריכה